Ответы и решения к демонстрационному варианту ГИА 2013 по математике

Система оценивания экзаменационной работы по математике

За правильный ответ на задание с выбором ответа и с кратким ответом ставится 1 балл. Задание с выбором ответа считается выполненным верно, если указан номер верного ответа. Если указаны два и более ответов (в том числе и правильный), неверный ответ или ответ отсутствует, ставится 0 баллов.

Ответы к заданиям части 1

Номер задания Правильный ответ
1 -3
2 2
3 1
4 -9; 2
5 142
6 50
7 0
8 2
9 66
10 5
11 168
12 2
13 13
14 2
15 2,5
16 1980
17 500
18 4
19 0,2
20 2,25

 Решения и критерии оценивания заданий части 2

Модуль "Алгебра".

21. Сократите дробь $\frac{18^{n+3}}{3^{2n+5}\cdot2^{n-2}}$.

Решение.

$\frac{18^{n+3}}{3^{2n+5}\cdot2^{n-2}}=\frac{3^{2n+6}\cdot2^{n+3}}{3^{2n+5}\cdot2^{n-2}}=3^{2n+6-(2n+5)}\cdot2^{n+3-(n-2)}=3\cdot2^{5}=96$

Ответ: 96.

Баллы Критерии оценки выполнения задания
2 Правильно выполнены преобразования, получен верный ответ
1 Решение доведено до конца, но допущена ошибка или описка вычислительного характера, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно
0 Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям
2 Макисмальный балл

22. Рыболов в 5 часов утра на моторной лодке отправился от пристани против течения реки, через некоторое время бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно в 10 часов утра того же дня. На какое расстояние от пристани он отплыл, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч.

Решение.

Пусть искомое расстояние равно $x$ км. Скорость лодки при движении против течения равна 4 км/ч, при двежении по течению равна 8 км/ч. Время, за которое лодка доплывёт от места отправления до места назначения и обратно, равно $\left(\frac{x}{4}+\frac{x}{8}\right)$ часа. Из условия задачи следует, что это время равно 3 часа. Составим уравнение: $\left(\frac{x}{4}+\frac{x}{8}\right)=3$.

Решив уравнение, получим $x=8$.

Ответ: 8 км.

Баллы Критерии оценки выполнения задания
3 Правильно составлено уравнение, получен верный ответ
2 Правильно составлено уравнение, но при его решении допущена вычислительная ошибка, с её учётом решение доведено до ответа
0 Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
3 Максимальный бал

23.  Постройте график функции $y=\frac{x^4-13x^2+36}{(x-3)(x+2)}$ и определите, при каких значениях параметра $c$ прямая $y=c$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

 Решение. Разложим числитель дроби на множители:

$x^4-13x^2+36=\left(x^2-4\right)\left(x^2-9\right)=$

$=\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x-3\right)\left(x+3\right)$

При $x\ne-2$ и $x\ne3$ функция принимает вид:

$y=\left(x-2\right)\left(x+3\right)=x^2=x-6$,

её график - парабола, из которой выколоты точки $\left(-2; -4\right)$ и $\left(3; 6\right)$.

Постройте график функции

Прямая $y=c$ имеет с графиком ровно одну общую точку тогда, когда проходит через вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых - выколотая. Вершина параболы иеет координаты $\left(-0,5; -6,25\right)$.

Баллы Критерии оценки выполнения задания
 4  График построен правильно, указаны все верные значения $c$, при которых прямая $y=c$ имеет с графиком только одну общую точку
 3  График построен правильно, указаны не все верные значения $c$
 0 Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
 4 Максимальный балл

 24. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ известны катеты: $AC=6$, $BC=8$. Найдите медиану $CK$ этого треугольника.

Решение.

Прямоугольный треугольник

 $CK=\frac{1}{2}\sqrt{AC^2+BC^2}=\frac{1}{2}\sqrt{36+64}=5$.

Ответ: 5.

Баллы Критерии оценки выполнения задания
 2 Получен верный обоснованный ответ
 1 При верных рассуждениях допущена вычислительная ошибка, возможно приведшая к неверному ответу
 0 Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
 2 Максимальный балл

 25. В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ - середина стороны $AB$. Известно, что $EC=ED$. Докажите, что данный параллелограмм - прямоугольник.

Доказательство. Треугольникеи $BEC$ и $AED$ равны по трём сторонам.

Параллелограмм ABCD

Значит, углы $CBE$ и $DAE$ равны. Так как их сумма равна $180^\circ$, то углы равны $90^\circ$. Такой параллелограмм - прямоугольник.

Баллы Критерии оценки выполнения задания
 3  Доказательство верное, все шаги обоснованы
 2  Доказательство в целом верное, но содержит неточности
 0 Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
 3 Максимальный балл

26. Основание $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания $AC$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Решение.

Пусть $O$ - центр данной окружности, а $Q$ - центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Окружности и треугольники

Точка касания $M$ окружностей делит $AC$ пополам.

$AQ$ и $AO$ - биссектрися смежных углов, значит, угол $OAQ$ прямой. Из прямоугольного треугольника $OAQ$ получаем: $AM^2=MQ\cdot MO$.

Следовательно,

$QM=\frac{AM^2}{OM}=\frac{9}{2}=4,5$.

Ответ: 4,5.

Баллы Критерии оценки выполнения задания
 4 Ход решений верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ
 3 Ход решений верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенный объяснения или допущена вычислительная ошибка.
 0 Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
 4 Максимальный балл

 

По данным сайта fipi.ru