Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 2014

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов для проведения в 2014 году единого государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ

Инструкция по выполнению работы

На выполнение экзаменационной работы по математике дается 3 часа 55 минут (235 минут). Работа состоит из двух частей, включащих в себя 20 заданий.

Часть 1 содержит 14 заданий с кратким ответом (В1-В14) базового уровня по материалу курса математики. Ответом является целое число или конечная десятичная дробь.

Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1-С6) по маетриалу курса математики. При их выполнении надо записывать полное решение и ответ.

Часть 1

B1. Поезд отправился из Санкт-Петербурга в 23 часа 50 минут и прибыл в Москву в 7 часов 50 минут следующих суток. Сколько часов поезд находился в пути?

B2. Футболка стоила 800 рублей. Затем цена была снижена на 15%. Сколько рублей сдачи с 1000 рублей должен получить покупатель при покупке этой футболки после снижения цены?

B3. На диаграмме показано распределение выплавки меди в 10 странах мира (в тысячах тонн) за 2006 год. Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимали США, десятое место — Казахстан. Какое место занимала Канада?

 Диаграмма распределения выплавки меди

B4. Строительная фирма планирует купить 70 м3 пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?

Поставщик Стоимость пеноблоков
(руб. за 1 м3)
Стоимость доставки
(руб.)
Дополнительные условия доставки
А 2600 10000 Нет
Б 2800 8000 При заказе товара на сумму свыше 150000 рублей доставка бесплатная
В 2700 8000 При заказе товара на сумму свыше 200000 рублей доставка бесплатная

В5. Найдите площадь ромба, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см x 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 Ромб

В6. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

В7. Найдите корень уравнения $3^{x-5} = 81$.

В8. Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O$. Найдите угол $BOC$, если угол $BAC$ равен $32^\circ$. Ответ дайте в градусах.

В9. На рисунке изображён график дифференцируемой функции $y = f(x)$. На оси абсцисс отмечены девять точек: $x_1, x_2 , \dots, x_9$. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции $f(x)$ отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

 График дифференцируемой функции

В10. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Цилиндрический сосуд

В11. Найдите $\sin \alpha$, если $\cos \alpha < 0,6$ и $\pi < \alpha < 2 \pi$ .

В12. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением

$v = c \cdot \frac{f - f_0}{f + f_0}$,

где $c = 1500$ м/с — скорость звука в воде, $f_0$— частота испускаемого сигнала (в МГц), $f$ — частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту (в МГц) отражённого сигнала, если батискаф погружается со скоростью 2 м/с.

В13. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен $10\sqrt{2}$. Найдите образующую конуса.

Конус, вписанный в сферу

В14. Весной катер идёт против течения реки в $1\frac{2}{3}$ раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в $1\frac{1}{2}$ раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

В15. Найдите точку максимума функции $y = \ln (x + 4)^2 + 2x + 7$.

Часть 2

С1.  а) Решите уравнение $\cos 2x = 1 - \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right)$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -5 \frac{5\pi}{2}; \; -\pi \right)$.

С2. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны рёбра: $AB = 3$, $AD = 2$, $AA1 = 5$. Точка $O$ принадлежит ребру $BB_1$ и делит его в отношении $2:3$, считая от вершины $B$. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $A$, $O$ и $C_1$.

С3. Решите систему неравенств

$\left\{\begin{aligned} &\log_{3-x} \frac{x + 4}{(x - 3)^2} \ge -2,\\ &x^3 + 6x^2 + \frac{21x^2 + 3x - 12}{x - 4} \le 3.\\ \end{aligned} \right.$

С4. Две окружности касаются внешним образом в точке $K$. Прямая $AB$ касается первой окружности в точке $A$, а второй — в точке $B$. Прямая $BK$ пересекает первую окружность в точке $D$, прямая $AK$ пересекает вторую окружность в точке $C$.

а) Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны.

б) Найдите площадь треугольника $AKB$, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

С5. Найдите все значения $a$, при каждом из которых наименьшее значение функции $f(x) = 2ax + \left| x^2 - 8x + 7 \right|$ больше 1.

С6. На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

По данным сайта fipi.ru