Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 2013

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов для проведения в 2013 году единого государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ

Инструкция по выполнению работы

На выполнение экзаменационной работы по математике дается 3 часа 55 минут (235 минут). Работа состоит из двух частей, включащих в себя 20 заданий.

Часть 1 содержит 14 заданий с кратким ответом (В1-В14) базового уровня по материалу курса математики. Ответом является целое число или конечная десятичная дробь.

Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1-С6) по маетриалу курса математики. При их выполнении надо записывать полное решение и ответ.

Часть 1

В1. Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20%?

В2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Ярославле по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда средняя температура в Ярославле была отрицательной.

Диаграмма температуры

В3. Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Четырёхугольник

В4. Строительная фирма планирует купить 70 м3 пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?

Поставщик Стоимость пеноблоков
(руб. за 1 м3)
Стоимость доставки
(руб.)
Дополнительные условия доставки
А 2600 10000 Нет
Б 2800 8000 При заказе товара на сумму свыше 150000 рублей доставка бесплатная
В 2700 8000 При заказе товара на сумму свыше 200000 рублей доставка бесплатная

В5. Найдите корень уравнения $\log_3(x-3)=2$.

В6. Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O$. Найдите угол $BOC$, если угол $BAC$ равен $32^\circ$.

В7. Найдите $\sin\alpha$, если $\cos\alpha=0,6$ и $\pi<\alpha<2\pi$.

В8. На рисунке изображён график дифференцируемой функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечены девять точек: $x_1, x_2, x_3, ..., x_9$. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции $f(x)$ отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

График дифференцируемой функции

В9. Диагональ $AC$ основания правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ равна 6. Высота пирамиды $SO$ равна 4. Найдите длину бокового ребра $SB$.

Правильная четырёхугольная пирамида ABCD

В10. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

В11. Обёъм первого цилиндра равен 12 м3. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра (в м3).

В12. Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой $h(t)=-5t^2+18t$, где $h$ - высота в метрах, $t$ - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.

В13. Весной катер идёт против течения реки в $1\frac{2}{3}$ раза медленне, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленне. Поэтому летом катер идёт проитв течения в $1\frac{1}{2}$  раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

В14. Найдите наибольшее значение функции $y=2\cos x+\sqrt{3x}-\frac{\sqrt{3\pi}}{3}$ на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$.

Часть 2

С1.  а) Решите уравнение $\cos 2x=1-\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\frac{5\pi}{2}; -\pi\right)$.

С2. Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна 2, а диагональ боковой грани равна $\sqrt{5}$. Найдите угол между плоскостью $A_1BC$ и плоскостью основания призмы.

С3. Решите систему неравенств

$$
\left\{
\begin{aligned}
&4^x \le 9\cdot 2^x+22,\\
&\log_3\left(x^2-x-2\right)\le1+\log_3 \frac{x+1}{x-2}.\\
\end{aligned}
\right.
$$

С4. На стороне $BA$ угла $ABC$, равного $30^\circ$, взята такая точка $D$, что $AD=2$ и $BD=1$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$, $D$ и касающейся прямой $BC$.

С5. Найдите все значения $a$, при каждом из которых наименьшее значение функции $f(x)=2ax+|x^2-8x+7|$ больше 1.

С6. На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из низ равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

По данным сайта fipi.ru