Ответы и решения к демонстрационному варианту ЕГЭ 2014 по математике

Ответы к заданиям части 1

Каждое из заданий В1–В15 считается выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Каждое верно выполненное задание оценивается 1 баллом.

Номер задания Правильный ответ
В1 8
В2 320
В3 7
В4 192000
В5 12
В6 0,92
В7 9
В8 64
В9 3
В10 4
В11 -0,8
В12 751
В13 20
В14 5
B15 -5

Решения заданий части 2

Задания части C демонстрационного варианта ЕГЭ 2014 года почти полностью совпадают с заданиями части C демонстрационного варианта ЕГЭ 2013, кроме задания C4, и распологаются по ссылке Ответы и решения к демонстрационному варианту ЕГЭ 2013 по математике. Решение отличающегося задания C4 представлено ниже.

С4. Две окружности касаются внешним образом в точке $K$. Прямая $AB$ касается первой окружности в точке $A$, а второй — в точке $B$. Прямая $BK$ пересекает первую окружность в точке $D$, прямая $AK$ пересекает вторую окружность в точке $C$.

а) Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны.

б) Найдите площадь треугольника $AKB$, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Решение.

а) Обозначим центры окружностей $O1$ и $O2$ соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке $K$, пересекает $AB$ в точке $M$. По свойству касательных, проведённых из одной точки, $AM = KM$ и $KM = BM$. Треугольник $AKB$, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.

Касающиеся окружности

Вписанный угол $AKD$ — прямой, поэтому он опирается на диаметр $AD$. Значит, $AD \perp AB$. Аналогично получаем, что $BC \perp AB$. Следовательно, прямые $AD$ и $BC$ параллельны.

б) Пусть, для определенности, первая окружность имеет радиус 4, а радиус второй равен 1.

Треугольники $BKC$ и $AKD$ подобны, $\frac{AD}{BC} = 4$. Пусть $S_{BKC} =  S$, тогда $S_{AKD} = 16S$.

У треугольников $AKD$ и $AKB$ общая высота, следовательно, $\frac{S_{AKD}}{S_{AKB}} = \frac{DK}{KB} = \frac{AD}{BC}$, то есть $S_{AKB} = 4S$. Аналогично,  $S_{CKD} = 4S$. Площадь трапеции $ABCD$ равна $25S$.

Вычислим площадь трапеции $ABCD$. Проведём к $AD$ перпендикуляр $O_2H$, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника $O_2HO_1$:

$O_2H =\sqrt{O_1O_2^2 - O_1H} = 4$.

Тогда

$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot AB = 20$.

Следовательно, $25S = 20$, откуда $S = 0,8$ и $S_{AKB} = 4S = 3,2$.

Ответ: $3,2$.

По данным сайта fipi.ru