Ответы и решения к демонстрационному варианту ЕГЭ 2013 по математике

Ответы к заданиям части 1

Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 баллом. Задние части 1 считаются выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

 

Номер задания Правильный ответ
В1 5
В2 5
В3 18
В4 192000
В5 12
В6 64
В7 -0,8
В8 3
В9 5
В10 0,92
В11 9
В12 2,4
В13 5
В14 1

 Ответы к заданиям части 2

Задание Ответ
С1

а) $\pi n$, $(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k$, $n\in Z$, $k\in X$.

б) $-2\pi$, $-\frac{11\pi}{6}$, $-\frac{7\pi}{6}$.

С2  $30^\circ$
С3  $\left(2; \log_2 11\right]$
С4  1 или 7
С5  $\left(\frac{1}{2}; 4+\sqrt6\right)$
С6  а) 44; б) отрицательных; в) 17.

Решения заданий части 2

С1.  а) Решите уравнение $\cos 2x=1-\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\frac{5\pi}{2}; -\pi\right)$.

Решение.

а) Так как $\cos 2x=1-\sin^2 x$, $\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$, то $1-\sin^2 x=1-\sin x$, $2\sin^2 x-\sin x=0$, $\sin x\left(\sin x-\frac{1}{2}\right)=0$.

Корни уравнения: $x=\pi n$, $x=(-1)^k \frac{\pi}{6}+\pi k$, $n\in Z$, $k\in Z$.

б) Корни уравнения $\sin x=0$ изображаются точками $A$ и $B$, а корни уравнения $\sin x=\frac {1}{2}$ - точками $C$ и $D$, промежуток $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right)$ изображается жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения: $-2\pi$, $-2\pi+\frac{\pi}{6}$ и $-\pi-\frac{\pi}{6}=-\frac{7\pi}{6}$.

Единичная окружность

Ответ:    а) $\pi n$, $(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k$, $n\in Z$, $k\in X$.

 б) $-2\pi$, $-\frac{11\pi}{6}$, $-\frac{7\pi}{6}$.

Другие решения пункта б).

б) Корни, принадлежащие промежутку $\left[-\frac{5\pi}{2}; -pi\right)$, отберём по графику $y=\sin x$. Прямая $y=0$ (ось $Ox$) пересекает график в единственной точке $(-2\pi; 0)$, абсцисса которой принадлежит промежутку $\left[-\frac{5\pi}{2}; \pi\right)$.

 Прямая $y=\frac{1}{2}$ пересекает график ровно в двух точках, абсциссы которых принадлежат $\left[-\frac{5\pi}{2}; \pi\right)$. Так как период функции $y=\sin x$ равен $2\pi$, то эти абсциссы равны, соответственно, $\frac{\pi}{6}-2\pi=-\frac{11\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}-2\pi=-\frac{7\pi}{6}$.

 Синус

В промежутке $\left[-\frac{5\pi}{2}; \pi\right)$ содержатся три корня $-2\pi$, $-\frac{11\pi}{6}$, $-\frac{7\pi}{6}$.

б) Пуст $x=\pi n$, $n\in Z$. Подставляя $n=\ldots -3, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$, получаем $x=\ldots -3\pi, -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, \ldots$. Промежутку $\left[-\frac{5\pi}{2}; \pi\right)$ принадлежит только $x=-2\pi$.

Пусть $x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k$, $k\in Z$. Подставляя $k=\ldots -3, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$, получаем:

$x=\ldots\left(-\frac{1}{6}-3\right)\pi, \ldots\left(-\frac{1}{6}-2\right)\pi, \ldots\left(-\frac{1}{6}-1\right)\pi,$ $\frac{\pi}{6}, \left(-\frac{1}{6}+1\right)\pi, \left(-\frac{1}{6}+2\right)\pi, \ldots$.

Промежутку $\left[-\frac{5\pi}{2}; \pi\right)$ принадлежат только $x=-\frac{11\pi}{6}$, $x=-\frac{7\pi}{6}$.

Промежутку $\left[-\frac{5\pi}{2}; \pi\right)$ принадлежат корни $-2\pi$, $-\frac{11\pi}{6}$, $-\frac{7\pi}{6}$.

б) Отберём корни, принадлежащие промежутку $\left[-\frac{5\pi}{2}; \pi\right)$.

Пусть $x=\pi n$, $n\in Z$. Тогда $-\frac{5\pi}{2}\le \pi n < -\pi$ $\Leftrightarrow$ $-\frac{5}{2}\le n\le-1$ $\Leftrightarrow$ $n=-2$.

Корень, принадлежащий промежктку $\left[-\frac{5\pi}{2}; \pi\right)$: $x=-2\pi n$.

Пусть $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$, $n\in Z$.

Тогда $-\frac{5\pi}{2}\le \frac{\pi}{6}+2\pi n<-\pi$ $\Leftrightarrow$ $-\frac{4}{3}<n\le -\frac{7}{12}$ $\Leftrightarrow$ $n=-1$.

Корень, принадлежащий промежутку $\left[-\frac{5\pi}{2}; \pi\right)$: $x=-\frac{11\pi}{6}$.

Пусть $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$, $n\in Z$.

Тогда $-\frac{5\pi}{2}\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n<-\pi$ $\Leftrightarrow$ $-\frac{5}{3}<n\le -\frac{11}{12}$ $\Leftrightarrow$ $n=-1$.

Корень, принадлежащий промежутку $\left[-\frac{5\pi}{2}; \pi\right)$: $x=-\frac{7\pi}{6}$.

Промежутку $\left[-\frac{5\pi}{2}; \pi\right)$ принадлежат корни $-2\pi$, $-\frac{11\pi}{6}$, $-\frac{7\pi}{6}$.

Баллы Критерии оценки выполнения задания
2 Обосновано получены верные ответы в п. а) и в п. б)
1 Обоснованно получен верный ответ в п. а), но обоснование отбора корней в п. б) не приведено или задача в п. а) обоснованно сведена к исследованию простейших тригонометрических уравнений без предъявления верного ответа, а в п. б) приведён обоснованный отбор корней
0 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
2 Макисмальный балл

С2. Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна 2, а диагональ боковой грани равна $\sqrt{5}$. Найдите угол между плоскостью $A_1BC$ и плоскостью основания призмы.

Решение.

Обозначим $H$ середину ребра $BC$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, а треугольник $A_1BC$ - равнобедренный, отрезки $AH$ и $A_1H$ перпендикулярны $BC$. Следовательно, $\angle A_1HA$ - линейный угол двугранного угла с гранями $BCA$ и $BCA_1$.

Пирамида

Из треугольника $A_1AB$ найдём: $AA_1=1$.

Из треугольника $AHB$ найдём: $AH=\sqrt 3$.

Из треугольника $HAA_1$ найдём: $\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits} \tg\angle A_1AH=\frac{AA_1}{AH}=\frac{1}{\sqrt 3}$.

Искомый угол равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

Возможны другие формы записи ответа. Например:

А) $\frac{\pi}{6}$;

Б) $\frac{\pi}{6} рад$;

В) $\newcommand{\arctg}{\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits} \frac{1}{\sqrt 3}$ и т.п.

Возможны другие решения. Например, с использованием векторов или метода координат.

Баллы Критерии оценки выполнения задания
2 Обосновано получен верный ответ
1 Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ, или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано
0 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
2 Макисмальный балл

С3. Решите систему неравенств

$$
\left\{
\begin{aligned}
&4^x \le 9\cdot 2^x+22,\\
&\log_3\left(x^2-x-2\right)\le1+\log_3 \frac{x+1}{x-2}.\\
\end{aligned}
\right.
$$

Решение.

1. Неравенство $4^x \le 9\cdot 2^x+22$ запишем в виде $\left(2^x\right)^2-9\cdot 2^x-22\le$.

Относительно $t=2^x$ неравенство имеет вид: $t^2-9t-22\le 0$, откуда получаем: $(t+2)(t-11)\le 0$, $-2\le t\le 11$.

Значит, $-2\le 2^x\le 11$, $x\le \log_2 11$.

2. Второе неравенство системы определено при

$$
\left\{
\begin{aligned}
&(x+1)(x-2)>0,\\
&\frac{x+1}{x-2}>0\\
\end{aligned}
\right.
$$

то есть при $x<-1$ и $x>2$.

При допустимых значениях переменной получаем:

$\log_3\left(x^2-x-2\right)\le 1+\log_3 \frac{x+1}{x-2}$,

$\log_3\left((x+1)(x-2)\right)-\log_3 \frac{x+1}{x-2}\le 1$,

$\log_3\left(x-2\right)^2\le 1$,

$\left(x-2\right)^2\le 3$,

$2-\sqrt 3\le x\le 2+\sqrt 3$.

С учётом области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы: $2\le x\le 2+\sqrt 3$.

3. Сравним $\log_2 11$ и $2+\sqrt 3$. Так как $\sqrt 3>\sqrt{2,25}=1,5$, то

$2+\sqrt 3>3,5=\log_2\left(8\cdot \sqrt 2\right)>\log_2(8\cdot 1,4)=$

$=\log_2(11,2)>\log_211$,

следовательно, $\log_211<2+\sqrt 3$.

Решение системы неравенств: $\left(2; \log_2 11\right]$.

Ответ: $\left(2; \log_2 11\right]$.

Баллы Критерии оценки выполнения задания
3 Обосновано получен верный ответ
2 Для обоих неравенств системы обосновано получены верные ответы, но не проведено обоснованного сравнения значений конечных точек найденных промежутков
1 Для одного из двух неравенств системы обоснованно получен верный ответ
0 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
3 Макисмальный балл

С4. На стороне $BA$ угла $ABC$, равного $30^\circ$, взята такая точка $D$, что $AD=2$ и $BD=1$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$, $D$ и касающейся прямой $BC$.

Решение.

Центр $O$ искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку $AD$. Обозначим $P$ середину отрезка $AD$, $Q$ - основание перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $BC$, $E$ - точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой $BC$ (см. рисунок а). Из условия касания окружности и прямой $BC$ следует, что отрезки $OA$, $OD$, и $OQ$ равны радиусу $R$ окружности.

Окружность и точки пересечения

Рисунок а.

Заметим, что точка $O$ не может лежать по ту же сторону от прямой $AB$, что и точка $E$, так как в этом случае расстояние от точки $O$ до прямой $BC$ меньше, чем расстояние от неё до точки $A$.

Из прямоугольного треугольника $BPE$ с катетом $BP=2$ и $\angle B=30^\circ$ находим, что $PE=\frac{2\sqrt 3}{3}$.

Так как $OA=R$и $AP=1$, получаем: $OP=\sqrt{R^2-1}$, следовательно, $OE=\sqrt{R^2-1}+\frac{2\sqrt 3}{3}$.

Из прямоугольного треугольника $OQE$, в котором $\angle =60^\circ$, находим:

$R=OQ=\frac{\sqrt 3}{2}OE=\frac{\sqrt 3}{2}\sqrt{R^2-1}+1$.

В результате получаем уравнение:

$\frac{\sqrt 3}{2}\sqrt{R^2-1}=R-1$.

Окружность с центром в точке P

Рисунок б.

Возведём в квадрат обе части этого уравнения и приведём подобные члены. Получим уравнение $R^2-8R+7=0$, решая которое находим два корня: $R_1=1$, $R_2=7$. Если радиус равен 1, то центром коружности является точка $P$ (см. рисунок б).

Ответ: 1 или 7.

Другое решение.

Пусть точка $Q$ касания окружности с прямой $BC$ лежит на луче $BC$ (см. рисунок а). По теореме о касательной и секущей

$BQ^2=BA\cdot BD=(BD+DA)\cdot BD=(1+2)\cdot 1=3$,

откуда $BQ=\sqrt 3$.

 Окружность и точка касания на луче

Рисунок а.

Пусть $O$ - точка пересечения луча $BA$ и перпендикуляра к $BC$, проведённого через точку $Q$. Из прямоугольного треугольника $BQO$ находим:

$BO=\frac{BQ}{\cos 30^\circ}=2$, тогда $AO=OD=1$ и $OQ=\frac{1}{2}BO=1$.

Таким образом, точка $O$ удалена от точек $A$, $D$ и $Q$ на одно и то же расстояние, равное 1. Следовательно, $O$ - центр искомой окружности, а её радиус равен 1.

Окружность

Рисунок б.

Пусть теперь точка $Q$ касания окружности с прямой $BC$ лежит на продолжении $BC$ за точку $B$ (см. рисунок б), а прямая, проходящая через точку $Q$ перпендикулярно $BC$, пересекает прямую $AB$ в точке $H$, а окружность вторично - в точке $T$. Тогда

$BQ=\sqrt{BA\cdot BD}=\sqrt 3$, $\angle HBQ=\angle ABC=30^\circ$,

$BH=\frac{BQ_1}{\cos 30^\circ}=2$, $HQ=\frac{1}{2}BH=1$.

Если $R$ - радиус окружности, то $QT=2R$. По теореме о двух секущих $HQ\cdot HT=HA\cdot HD$, то есть $1\cdot (1+2R)=(2+3)\cdot 3$, откуда находим, что $R=7$.

Ответ: $1$ или $7$.

Баллы Критерии оценки выполнения задания
3 Обосновано получен верный ответ
2 Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины, или рассмотрены обе конфигурации, для которых получены значения искомой величины, неправильные из-за арифметически ошибок
1 Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки
0 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
3 Макисмальный балл

С5. Найдите все значения $a$, при каждом из которых наименьшее значение функции $f(x)=2ax+|x^2-8x+7|$ больше $1$.

Решение.

1. Функция $f$ имеет вид:

а) при $x^2-8x+7\ge 0$: $f(x)=x^2+2(a-4)x+7$, а её график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии $x=4-a$;

б) при $x^2-8x+7<0$: $f(x)=-x^2+(2a+8)x-7$, а её график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз.

Все возможные виды графика функции $f(x)$ показаны на рисунках:

 Вид графика функции f(x)   Вид графика функции f(x)  

 Вид графика функции f(x)    Вид графика функции f(x)

2. Наименьшее значение функция $f(x)$ может принять только в точках $x=1$ или $x=7$, а если $4-a\notin [1; 7]$ - то в точке $x=4-a$.

3. Наименьшее значение функции $f$ больше $1$ тогда и только тогда, когда

 $\left\{\begin{aligned}&f(1)>1,\\&f(7)>1,\\&f(4-a)>1,\\\end{aligned}\right.$ $\Leftrightarrow$  $\left\{\begin{aligned}&2a>1,\\&14a>1,\\&2a(4-a)+|a^2-9|>1,\\\end{aligned}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{aligned}&a>\frac{1}{2},\\&a>\frac{1}{14},\\&2a^2-8a+1-|a^2-9|<0,\\\end{aligned}\right.$ $\Leftrightarrow$

$\left[\begin{aligned}\left\{\begin{aligned}&a\ge 3,\\&a^2-8a+10<0,\\\end{aligned}\right. \\\left\{\begin{aligned}&\frac{1}{2}<a<3,\\&3a^2-8a-8<0,\\\end{aligned}\right.\\\end{aligned}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left[\begin{aligned}&\left\{\begin{aligned}&a\ge 3,\\&4-\sqrt 6<a<4+\sqrt 6,\\\end{aligned}\right. \\&\left\{\begin{aligned}&\frac{1}{2}<a<3,\\&\frac{4-\sqrt{40}}{3}<a<\frac{4+\sqrt{40}}{3},\\\end{aligned}\right.\\\end{aligned}\right.$ $\Leftrightarrow$

 $\left\{\begin{aligned}&3\le a<4+\sqrt 6,\\&\frac{1}{2}<a<3,\\\end{aligned}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\frac{1}{2}<a<4+\sqrt 6$.

Ответ: $\left(\frac{1}{2}; 4+\sqrt 6\right)$.

Баллы Критерии оценки выполнения задания
4 Обосновано получен верный ответ
3 Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет пробелы (например, не описаны необходимые свойства функции), либо содержит вычислительные ошибки
2 Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При составлении или решении условий на параметр допущены ошибки, в результате которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть значений потеряна
1 Хотя бы в одном из случаев раскрытия модуля составлено верное условие на параметр либо построен верный эскиз графика функции в целом
0 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
4 Макисмальный балл

С6. На доске написано более $40$, но менее $48$ целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из низ равно $4$, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно $-8$.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение.

Пусть среди написанных чисел $k$ положительных, $l$ отрицательных и $m$ нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе,умноженному на его среднее арифметическое, поэтому $4k-8l+0\cdot m=-3(k+l+m)$.

а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на $4$, поэтому $k+l+m$ — количество целых чисел — делится на $4$. По условию $40<k+l+m<48$, поэтому $k+l+m=44$. Таким образом, написано $44$ числа.

б) Приведём равенство $4k-8l=-3(k+l+m)$ к виду $5l=7k+3m$. Так как $m\ge 0$ , получаем, что $5l\ge 7k$ , откуда $l>k$ . Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

в) (оценка) Подставим $k+l+m=44$ в правую часть равенства $4k-8l=-3(k+l+m)$: $4k-8l=-132$, откуда $k=2l-33$. Так как $k+l\le 44$, получаем: $3l-33\le 44$, $3l\le 77$, $l\le 25$, $k=2l-33\le 17$; то есть
положительных чисел не более $17$.
в) (пример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно $17$.
Пусть на доске $17$ раз написано число $4$, $25$ раз написано число $-8$ и два раза написан $0$. Тогда $\frac{4\cdot 17-8\cdot 25}{44}=\frac{ 68-200}{44}=3$, указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ: а) $44$; б) отрицательных; в) $17$.

Баллы Критерии оценки выполнения задания
4 Верно выполнены все четыре пункта
3 Верно выполнены три пункта из четырёх
2 Верно выполнены два пункта из четырёх
1 Верно выполнен один пункт из четырёх
0 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
4 Макисмальный балл

По данным сайта fipi.ru