Первообразная

1. Докажите, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$:

а) $F(x)=0,8x^5-x^2+10$, $f(x)=4x^4-2x$;
б) $F(x)=0,7x^{10}+3x^9$, $f(x)=7x^9+27x^8$;
в) $F(x)=-5\cos x$, $f(x)=5\sin x$.

Решение.

а) $F\;'(x)=\left(0,8x^5-x^2+10\right)'=4x^4-2x$.

Получили, что $F\;'(x)=f(x)$, значит функция $F(x)=0,8x^5-x^2+10$ является первообразной для функции $f(x)=4x^4-2x$. Что и требовалось доказать.

б) $F\;'(x)=\left(0,7x^{10}+3x^9\right)'=7x^9+27x^8$.

Получили, что $F\;'(x)=f(x)$, значит функция $F(x)=0,7x^{10}+3x^9$ является первообразной для функции $f(x)=7x^9+27x^8$. Что и требовалось доказать.

в) $F\;'(x)=\left(-5\cos x\right)'=5\sin x$.

Получили, что $F\;'(x)=f(x)$, значит функция $F(x)=-5\cos x$ является первообразной для функции$f(x)=5\sin x$. Что и требовалось доказать.

2. Найдите, каким функциям соответствуют первообразные:

а) $F(x)=2x^3-8x^2+7x$;
б) $F(x)=4x^5-1,5$;
в) $F(x)=e^x-\sin 3x$.

Решение.

Используя определение первообразной, делаем вывод, что для нахождения функций, которым соответствуют данные первообразные, нам нужно вычислить производные этих первообразных.

а) $F\;'(x)=\left(2x^3-8x^2+7x\right)'=6x^2-16x+7$;
б) $F\;'(x)=\left(4x^5-1,5\right)'=20x^4$;
в) $F\;'(x)=\left(e^x-\sin 3x\right)'=e^x-3\cos 3x$.

3. Найдите все первообразные для функций:

а) $f(x)=9x^2-\frac{5}{x}$;
б) $f(x)=e^{-3x}+x^4$;
в) $f(x)=\frac{4}{\sqrt{1-x^2}}+3^x$.

Решение.

Используя таблицу первообразных и правила их нахождения вычислим все первообразные данных нам функций:

а) $F(x)=9\cdot \frac{x^3}{3}-5\ln x+C=3x^2-5\ln x+C$;
б) $F(x)=-\frac{1}{3}e^{-3x}+\frac{x^5}{5}+C$;
в) $F(x)=4\arcsin x+\frac{3^x}{\ln 3}+C$.

4. Найдите первообразную для функции $f(x)$, график которой проходит через точку $A$:

а) $f(x)=\frac{7x-1}{5}$, $A(0; -1)$;
б) $f(x)=8x^2+6x-10$, $A(2; 7)$;
в) $f(x)=x(2x-3)^2$, $A(2; 3)$.

 Решение.

а) Для данной нам функции найдём, вначале, первообразную в общем виде:

$F(x)=\frac{7x^2}{10}-\frac{1}{5}x+C$.

После чего воспользуемся координатами точки из условия и получим следующее равенство:

$F(0)=-1$.

Составим и решим уравнение относительно $C$:

$\frac{7\cdot 0^2}{10}-\frac{1}{5}\cdot 0+C=-1$,

$C=-1$.

Подставим полученное значение $C$ в общий вид первообразной и получим:

$F(x)=\frac{7x^2}{10}-\frac{1}{5}x-1$.

Полученная функция является первообразной, проходящей через точку $A(0; -1)$, для $f(x)=\frac{7x-1}{5}$.

Ответ: $F(x)=\frac{7x^2}{10}-\frac{1}{5}x-1$.

б) Найдём первообразную в общем виде для данной нам функции:

$F(x)=\frac{8x^3}{3}+3x^2-10x+C$.

Далее, используя координаты точки из условия получим:

$F(2)=7$.

 На основании полученного равенства и первообразной в общем виде составим уравнение и решим его относительно $C$:

$\frac{64}{3}+12-20+C=7$,

$C=7+8-21\frac{1}{3}$,

$C=-20\frac{1}{3}$.

 Используя полученное значение $C$, находим первообразную для функции $f(x)=8x^2+6x-10$, проходящую через точку $A(2; 7)$.

Ответ: $F(x)=\frac{8x^3}{3}+3x^2-10x-20\frac{1}{3}$.

в) Вначале преобразуем данную нам функцию:

$f(x)=x(2x-3)^2=x(4x^2-12x+9)=4x^3-12x^2+9x$.

Далее найдём первообразную в общем виде:

$F(x)=\frac{4x^4}{4}-\frac{12x^3}{3}+\frac{9x^2}{2}+C=x^4-4x^3=\frac{9x^2}{2}+C$.

Используя коориднаты точки, получаем равенство:

$F(2)=3$,

на основании которого составим уравнение и решим его относительно $C$:

$16-32+18+C=3$,

$C+2=3$,

$C=1$.

Подставляя $C$ в первообразную в общем виде получим:

$F(x)=x^4-4x^3+\frac{9x^2}{2}+1$.

Ответ: $F(x)=x^4-4x^3+\frac{9x^2}{2}+1$.