Свойства модуля и аргумента комплексного числа

Свойства модуля и аргумента комплексного числа:

1°. $|\bar z| = |z|$

Модуль числа, сопряженного числу $z$ равен модулю самого комплексного числа $z$.

2°. $z \cdot \bar z = |z|^2$

Произведение комплексного числа на сопряжённое ему равно квадрату модуля этого комплексного числа.

3°. $\mathrm{arg} \bar z = -\mathrm{arg} z$, $(\mathrm{arg} z \ne \pi)$

Аргумент числа, сопряжённого комплексному числу $z$ равен отрицательному аргументу комплексного числа $z$.

4°. $\mathrm{max} \{|x|, |y|\} \le |z| \le |x| + |y|$

Модуль комплексного числа больше либо равен наибольшему из модулей его действительной и мнимой части и не превосходит суммы этих модулей.

5°. $|z_1| - |z_2| \le |z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$

Модуль суммы двух комплексных чисел больше либо равен разности модулей этих чисел и меньше либо равен сумме модулей этих чисел.

6°. $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$, $\mathrm{Arg} (z_1 \cdot z_2) = \mathrm{Arg} z_1 + \mathrm{Arg} z_2$

Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей этих комплексных чисел, при этом аргумент произведения этих двух чисел равен сумме аргументов этих чисел.

7°. $\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$, $\mathrm{Arg} \left( \frac{z_1}{z_2} \right) = \mathrm{Arg} z_1 - \mathrm{Arg} z_2$

Модуль частного двух комплексных чисел равен частности модулей этих комплексных чисел, при этом аргумент частности этих двух чисел равен разности аргументов этих чисел.

8°. $\left| z^n \right| = |z|^n$, $\mathrm{Arg} \left( z^n \right) = n \cdot \mathrm{Arg} z$

Аргумент комплексного числа $z$ в $n$-ой степени равен произведению показателя степени $n$ на аргумент комплексного числа.

9°. $\left| \sqrt[n]{z} \right| = \sqrt[n]{|z|}$, $\mathrm{Arg} \left( \sqrt[n]{z} \right) = \frac{\mathrm{Arg} z}{n}$.

Модуль корня n-ой степени комплексного числа z равен частномум аргумента комплексного числа и показателя степени $n$.

Теорема. Множество комплексных чисел $C$ есть метрическое пространство с метрикой $p(z_1, z_2) = |z_1 - z_2|$.

Следствие. Для множества комлексных чисел $C$ можно ввести все понятия, характерные для метрических пространств:

1) $\varepsilon$ - окружность с центром в точке $z_0$: $\bar u (z_0, \varepsilon) = \{z \in C: \; |z-z_0|< \varepsilon\}$;

2) проколотая $\varepsilon$ - окружность в точке $z_0$: $\bar u (z_0, \varepsilon) = \{z \in C: \; 0<|z-z_0|< \varepsilon\}$;

3) $G \subset C$, понятия внутренней, внешней, граничной точек множества $G$;

4) понятия открытого, замкнутого, связанного множеств.

Определение (предела последовательности $(z_n)$). Число $z_0$ называется пределом последовательности $(z_n)$ $z_0 = \lim_{n \to \infty} z_n$, если $\lim_{n \to \infty} p(z_n, z_0) = 0$ или $\lim_{n \to \infty} |z-z_0| = 0$.

Из соответствующих свойств модуля комплексного числа следует, что сходимость последовательности $(z_n)$ к точке $z_0$ равносильна содимости последовательности $(\mathrm{Re} z_n)$ к $\mathrm {Re} z_0$ и другой последовательнсти $(\mathrm{Im} z_n)$ к $\mathrm{Im} z_0$. Поэтому справедлива следующая теорема.

Теорема (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности комплексных чисел можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Теорема (Критерий Коши). Для сходимости последовательности $(z_n)$ необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной, то есть $\forall \varepsilon > 0 \; \exists n_0 \; \forall n, m ((n \le n_0) \& (m \le n_0) \rightarrow |z_n - z_m| < \varepsilon)$.