Поле комплексных чисел

Определение. Комплексным числом $z$ называется упорядоченная пара действительных чисел $x$ и $y$: $z = (x, y)$.

При этом $x \in R$ называется действительной частью комплексного числа и обозначается $x = \mathrm {Re} \; z$, а $y \in R$ называется мнимой частью комплексного числа и обозначается $y = \mathrm {Im} \; z$

Определение. Суммой комплексных чисел $z_1 = (x_1, y_1)$ и $z_2 = (x_2, y_2)$ называется комплексное число $z = z_1 + z_2 = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$.

Определение. Произведением комплексных чисел $z_1 = (x_1, y_1)$ и $z_2 = (x_2, y_2)$ называется комплексное число $z = z_1 + z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2, x_1 y_2 + x_2 y_1)$.

Теорема. Множество всех комплексных чисел есть алгебраическое поле.

Комплексные числа вида $(x, 0)$ отождествляют с дейстивтельными числами. $x = (x, 0)$.

Особую роль в комплексных числах играет число $(0, 1) = i$.

$i^2 = (0, 1) \cdot (0, 1) = (-1, 0) = -1$.

Число $i$ называется мнимой единцей.

С учётом $i$ комплексное число $z$ можно записать, как $z = x + iy$.

Это алгебраическая форма записи комплексных чисел.

$z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0 = x + iy$.

В силу того, что $\forall  x \in R$ можно представить как $x = (x, 0)$, то ясно, что $R \subset C$.

Числа вида $iy$ - мнимые, и они тоже образуют подмножество множества $C$.

Определение. Комплексное число $\bar z = x - iy$ называется сопряжённым числу $z = x + iy$. А число $-z = -x - iy$ называется противоположным числу $z$. Число $\frac{1}{z}$, $z \ne (0, 0)$ называется обратным числу $z$.

Определение. Разностью комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ называется число $z=z_1-z_2=z_1+(-z_2)$.

Определение. Частным комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ называется число $z=\frac{z_1}{z_2}=z_1 \cdot \frac{1}{z_2}$.

Очевидны следующие равенства:

1) $z \cdot \bar z = x^2 + y^2$

Произведение комплексного числа на сопряжённое ему равно сумме квадратов дейстивтельной и мнимой части.

2) $\overline{z_1+ z_2} = \bar z_1 + \bar z_2$

Сопряжённое суммы равно сумме сопряжённых.

3) $\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar z_1 \cdot \bar z_2$

Сопряжённое произведения равно произведению сопряжённых.

4) $\bar{\bar z} = z$

Сопряжённое сопряжённого комплексного числа есть само комплексное число.

5) $\overline{-z} = - \bar z$

Сопряжённое противоположного равно противоположному сопряжённого.

6) $\frac{1}{z} = \frac{1}{x + iy} = \frac{x - iy}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} - i\frac{y}{x^2+y^2}$

7) $\left( \bar z \right) ^{-1} = \overline{z^{-1}}$

8) $z + \bar z = 2 \mathrm{Re} z$

Сумма комплексного числа и сопряжённого ему числа есть удвоенная действительная часть комплексного числа.

9) $z - \bar z = 2 i \mathrm{Im} z$

Разность комплексного числа и числа ему сопряжённого есть удвоенное произведение мнимой единицы и мнимой части комплексного числа.

Теорема. Множество $R$ вполне упорядочено, то есть $\forall x, \; y \in R$, $x \ne y$, то $x > y$ или $y > x$.  И в отличие от множества $R$, множество комплексных чисел $C$ нельзя вполне упорядочить.

Доказательство.

Предположим, что множество $C$  упорядочено.

$i \ne 0$, $i > 0$ или $i < 0$.

Пусть $i > 0$, тогда умножим обе части этого неравенства на положительное $i$.

Получим, что $i^2 > 0$, то есть $-1 > 0$. Противоречие.

$i < 0$, тогда $-i > 0$. Умножая на $-i$ получим $-i^2 < 0$, $-(-1) = 1 < 0$. Противоречие.

Полученное противоречие говорит о том, что предположение было сделано неверно. Следовательно, множество $C$ неупорядочено. Что и требовалось доказать.