Геометрическая интерпретация поля комплексных чисел

Множество комплексных чисел можно сопоставить с различными геометрическими моделями.

1) Отождествление множества комплесных чисел с декартовой плоскостью.

$z = (x, y)$.

Точка на декартовой плоскости

Любой точке $M(x, y)$ на плоскости можно сопоставить пару координат и наоборот.

$M(x, y) \rightarrow z = (x, y)$

$\mathrm{Re} z = x$, $\mathrm{Im} z = y$.

$z = (x, y) \rightarrow M(x, y)$

То есть $C \leftrightarrow R$ (биекция).

Поэтому часто отождествляют $C$ с $R^2$.

2) Сопоставление комплексного числа с вектором.

Любому комплексному числу можно поставить в соответствие вектор с началом в нуле и концом в точке с координатами $(x, y)$.

 Сумма векторов

Разность векторов

3) Полярные координаты.

 Полярная система координат

$M(x, y)$ - в прямоугольной системе координат.

$M(r, \varphi)$ - в полярной системе координат.

Соотношения между прямоугольными и полярными координатами:

$x = r \cos \varphi$,

$y = r \sin \varphi$.

Определение. Полярный радиус $r$ называется модулем комплексного числа $z$: $r = |z|$. А полный угол $\varphi$ называется аргументом комплексного числа $z$.

Аргумент комплексного числа $z$ определяется неоднозначно, а с точностью до слагаемого, кратного $2\pi$.

Совокупность всех значений аргумента обозначается $\mathrm{Arg} z$. А значение аргумента из $(-\pi; \pi]$ называется главным аргументом комплексного числа $z$ и обозначается $\mathrm{arg} z$. То есть $\mathrm{Arg} z = \{\mathrm{arg} z + 2\pi k, \; k \in Z\}$.

$|z| = \sqrt {x^2 + y^2}$.

Главное значение аргумента:

$\mathrm{arg} z = \left\{ \begin{align} &\mathrm{arctg} \frac{y}{x}, x >0 \\ &\mathrm{arctg} \frac{y}{x} + \pi, x < 0, y \ge 0 \\ &\mathrm{arctg} \frac{y}{x} - \pi, x < 0, y < 0 \\ &\frac{\pi}{2}, x = 0, y > 0 \\ &-\frac{\pi}{2}, x = 0, x < 0 \end{align} \right.$

$\mathrm{arg} z$, при $z = 0$ не определено.

$z = x + iy = z \cos \varphi + i \sin \varphi = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$

$\boxed{z = r \left(\cos \varphi + i \sin \varphi \right)}$

Полученное выражение является тригонометрической формой записи комплексного числа

Ясно, что два комлпексных числа, записанных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы равны или отличаются на кратное число $2\pi$.

$z_1 = r_1 \left(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 \right)$

$z_2 = r_2 \left(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2 \right)$

$z_1 \cdot z_2 = r_1 \cdot r_2 \left(\cos (\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2) \right)$

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left(\cos (\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 - \varphi_2) \right)$

$z_1^n = r_1^n \left(\cos n \varphi_1 + i \sin n \varphi_1 \right)$

$\sqrt{z_1}^n=\sqrt{r_1}^n \left( \cos \frac{\varphi_1 + 2 \pi k}{n} + i \sin \frac{\varphi_1 + 2 \pi k }{n} \right)$, $k = 0, 1, 2, \dots , n - 1$

Определение. Пердставление множества $C$ в виде точек плоскости $R^2$ с сохранением алгебраической структуры называется геометрической интерпретацией множества комплексных чисел $C$.