Свойства образа и прообраза

Рассмотрим основные свойства образа и прообраза.

1. Пусть $A \subset X$, тогда верно $f^{-1} \left(f(A)\right) \supseteq A$.

Рассмотрим любой произвольный элемент $x$ из множества $A$, тогда:

$y=f(x) \in f(A) \Rightarrow x \in f^{-1} \left(f(A) \right)$.

Обратно:

$\forall x \in f^{-1} \left(f(A) \right) \Rightarrow f(x) \in f(A) \not\Rightarrow x \in A$.

Пример.

$X=Y=R$, $y=x^2$.

График

$A=[0;1]$, $f(A)=[0;1]$.

$f^{-1} \left(f(A) \right) = [-1; 1] \supset A$.

2. Пусть множество $B$ является подмножеством $Y$: $B \subset Y$. Тогда $f\left(f^{-1}(B)\right) = B$.

3. Образ объединения двух множеств равен объединению их образов.

$A, \; B \subset X$, $f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$.

 $\forall y \in f(A \cup B) \Leftrightarrow y=f(x), x \in A \cup B \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} y=f(x), x\in A \\ y = f(x), x \in B \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} y \in f(A) \\ y \in f(B) \end{align} \right. \Leftrightarrow y \in f(A) \cup f(B)$

Замечание. Для пересечения это свойство выполняется не всегда.

4. Прообраз пересечения двух множеств равен пересечению их полных прообразов.

$A, B \subset Y$, $f^{-1} (A \cap B) = f^{-1} (A) \cap f^{-1} (B)$.

$\forall x \in f^{-1} (A \cap B) \Leftrightarrow f(x) \in A \cap B \Leftrightarrow $

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} f(x) \in A \\ f(x) \in B \end{align} \right. \Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{align} x \in f^{-1}(A) \\ x \in  f^{-1}(B) \end{align} \right. \Leftrightarrow x \in f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)$.

5. Полный прообраз объединения множеств равен объединению их полных прообразов.

$A, \; B \subset Y$, $f^{-1} (A \cup B) = f^{-1} (A) \cup f^{-1} (B)$.

$\forall x \in f^{-1} (A \cup B) \Leftrightarrow f(x) \in A \cup B \Leftrightarrow $

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} f(x) \in A \\ f(x) \in B \end{align} \right. \Leftrightarrow$ $\left[ \begin{align} x \in f^{-1}(A) \\ x \in f^{-1}(B) \end{align} \right. \Leftrightarrow x \in f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$.