Существование граней у ограниченного множества

Теорема. Всякое непустое множество на числовой прямой, ограниченное сверху (снизу), имеет верхнюю (нижнюю) грань.

Доказательство.

Пусть $E$ - множество точек на числовой прямой, ограниченное снизу. Через точку $A$ обозначим множество всех нижних границ множества $E$. А через $B$ - множество всех остальных точек числовой прямой.

Множество $A$ - непустое множество, так как $E$ ограничено снизу, а множество $B$ не пусто, так как для всякого $x$ из $E$ по теореме Архимеда найдётся $n>x$, и, значит, $n$ есть элемент множества $B$.

Множества $A$ и $B$ не пересекаются и $A \cup B = R$. Кроме того, для любых элементов $a\in A$, $b \in B$ найдётся такой элемент $x$ из множества $E$, что $x<b$, так как $b$ не является нижней границей и при этом $x \ge a \Rightarrow a < b$. Таким образом множества $A$ и $B$ задают дедекиндово сечение. Пусть число $m$ производит это сечение. Докажем, что оно и есть нижняя грань множества $E$.

Предположим, что $m \in B$. Тогда в множестве $E$ найдётся такая точка $x$, что $x < m$. По свойству плотности действительных чисел найдётся такая точка $k$, что $x < k < m$. Правая часть неравенства говорит о том, что $k \in A$, а левая часть неравенства, что $k \in B$, но это невозможно. Выдвинутое предположене неверно и значит $m \in A$. Следовательно $m$ - наибольшая из нижних границ в этом множестве, то есть нижняя грань множества $E$.

Аналогичным образом доказывается существование верхней границы у ограниченного множества. $\dagger$

Стоит заметить, что данная теорема и аксиома Дедекинда эквивалентны. Действительно, множества, образованные дедекиндовым сечением, ограничены: одно сверху, другое снизу. Их грани совпадают и производят это сечение.