Принцип вложенных отрезков

Наряду с аксиомой Дедекинда рассмотрим ещё одну формулировку свойства полноты множества действительных чисел, известную под названием принципа вложенных отрезков.

Теорема. (Теорема Кантора). Для последовательности сегментов таких, что каждый следующий вложен в предыдущий: $[a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset [a_3, b_3] \supset \; \dots \; \supset [a_n, b_n] \supset \dots$ - существует число, принадлежащее всем сегментам.

Доказательство.

Последовательность вложенных сегментов

1) Разобьём множество всех действительных чисел на два множества $A$ и $B$, не пустые, не пересекающиеся и в объединении дающие множество действительных чисел: $A \ne \emptyset , B \ne \emptyset , A \cap B = \emptyset , A \cup B = R$.

К множеству $A$ отнесём такие числа $x$, что хотя бы при одном $n$ будет выполнено неравенство $x<a_n$. А к множеству $B$ отнесём все остальные числа. Эти множества не пустые, так как $A$ содержит все числа, меньшие $a_n$, а $B$ содержит все числа, которые больше либо равны $a_n$. Ясно, что множества $A$ и $B$ не пересекаются.

2) Рассмотрим произвольные элементы $x \in A$ и $y \in B$.

По определению $y \ge a_n$ при любых $n$. С другой стороны найдётся для элемента $x$ такой номер $n_1$, что $x<a_n$. Это значит, что $x<a_n<y$, следовательно $x<y$.

Множества $A$ и $B$ образуют Дедекиндово сечение, поэтому по аксиоме Дедекинда существует такое число $c$, которое это сечение производит. Предположим, что $c \in A$, тогда для некоторого $n$ выполнено $c<a_n$. По свойсвту полноты множества действительных чисел найдётся такое число $k$, которое окажется между ними $c<k<a_n$. Правая часть полученного неравенства говорит о том, что $k \in A$, а левая часть, что $k \in B$. Это невозможно, значит $c \in B$, следовательно $a_n \le c \le b_n$. А это и означает, что $c$ принадлежит всем сегментам одновременно. Что и требовалось доказать. $\dagger$

Аксиома Дедекинда может быть выведена из теоремы Кантора, иными словами теорема Кантора эквивалентна аксиоме Дедекинда.

Если последовательность вложенных сегментов такова, что для любого положительного $\varepsilon$ найдётся такой номер $n$, начиная с которого длины сегментов будут меньше, чем $\varepsilon$: $\forall \varepsilon >0 \;\;\; \exists m (n>m \Rightarrow b_n-a_n < \varepsilon)$.

Такие сегменты назовём стягивающими.

Не трудно видеть, что если в теореме Кантора сегменты стягиваются, то число $c$, о котором говорится в теореме, единственное.

Действительно, если таких чисел два, например $c$ и $d$, то модуль разности этих чисел: $|c-d| \le b_n - a_n < \varepsilon$, что противоречит произвольности $\varepsilon$.

Замечание. Стоит отметить, что для интервалов и полусегментов утверждение теоремы Кантора неверно.

Например, последовательность вложенных полусегментов $(0; 1]\supset(0; \frac{1}{2}]\supset(0; \frac{1}{3}]\supset \dots \supset (0; \frac{1}{n}]\supset \dots$.

Последовательность вложенных полусегментов

Полусегменты, входящие в последовательность, не имеют общей точки.