Периодические функции

Определение. Функция $y=f(x)$ называется периодической, если существует такое число $T \neq 0$, что: 1) $\forall x \in D(f) \; (x \pm T) \in D(f)$, 2) $f(x \pm T) = f(x)$.

Методом математической индукции доказывается, что, если $T \ne 0$ является периодом, то и всякое число вида $k \cdot T$, где $k \in Z$, также является периодом этой функции.

Таким образом, функция имеет бесконечное множество периодов. Наименьший из них, если он существует, называется основным периодом. Все остальные - ему кратными. Однако, не всякая периодическая функция имеет основной период.

Пример.

$D = \left\{ \begin{align} &1, \; x \in Q, \\ & 0, \; x \in I \end{align} \right.$.

Любое рациональное число является периодом для функции Дирихле.

$D(D(x)) = R$.

1) $\forall x \in R, \; x \pm r \in R, \; r \in Q$;

2) $D(x \pm r) = \left\{ \begin{align} &0, \; x \pm r \in Q, \\ & 1, \; x \pm r \in I \end{align} \right.$.

Основного периода нет, так как среди положительных рациональных чисел нет наименьшего.