Отношение эквивалентности

Определение. Отношение $R$, заданное на множестве $X$, называется отношением эквивалентности, если оно обладает следующими свойствами: 1) рефлекивность: $x \; R \; x \;\;\; \forall x \in X$; 2) симметричность: $x \; R \; y \Rightarrow y \; R \; x \;\;\; \forall x, y \in X$; 3) транзитивность: $x \; R \; y \; и \; y \; R \; z \Rightarrow x \; R \; z \;\;\; \forall x, y, z \in X$.

Пример.

1) Отношение равенства.

Проверим, будет ли отношение равенства отношением эквивалентности.

$\forall x \in Z \;\; x=x$

$\forall x, y \in Z \;\; x=y \Rightarrow y=x$

$\forall x, y, z \in Z \;\; x=y, y=z \Rightarrow y=z$

Все три условия определения выполняются, следовательно отношение равенства есть отношение эквивалентности.

2) Отношение параллельности на множестве прямых.

3) Отношение подобия на множестве треугольников.

 С отношением эквивалентности тесно связано разбиение множества на классы.

Определение. Множество $X$ разбито на классы (подмножества), если выполняются следующие два условия: 1) объединение всех классов есть множество $X$, 2) классы являются попарно не пересекающимися множествами.

Пример.

1) $X$ - множество треугольников.

$X_1$ - прямоугольные, $X_2$ - равнобедренные, $X_3$ - равносторонние.

Такое разбиение не считается классификацией, так как:  $X_1 \cap X_2 \ne \emptyset$, $X_2 \cap X_3 \ne \emptyset$.

2) $X$ - множество треугольников.

$X_1$ - прямоугольные, $X_2$ - остроугольные, $X_3$ - тупоугольные.

 $X_1 \cup X_2 \cup X_3 = X$

$X_1 \cup X_2 = \emptyset$, $X_1 \cup X_3 = \emptyset$ $X_2 \cup X_3 = \emptyset$

Это типичная классификация.