Отношения порядка. Границы

Определение. Отношение $>$  заданное на множестве $X$ называется отношением частичного строгого порядка, если оно обладает следующими свойствами: 1) ассиметричность $x>y \Rightarrow \overline{y>x}$, 2) транзитивность $x>y \;\; и \;\; y>z \Rightarrow x>z$.

Определение. Отношение $\ge$, заданное на множестве $X$, назывется отношением частичного нестрогого порядка, если выполнены следующие условия: 1) $x\ge x$, 2) $x\ge y \;\; и \;\; y\ge x \Rightarrow x=y$, 3) $x\ge y \;\; и \;\; y\ge z \Rightarrow x\ge z$.

Множество $X$, в котором определены отношения частичного порядка (строгие и нестрогие) называется частично упорядоченным.

Определение. Пусть $X$ частично упорядоченное множество и $E \subseteq X$. Множество $E$ называется ограничивающим сверху, если существует такой элемент $b$ в множестве $X$, что для любого $x \in E$, $x \le b$ $\left(\exists b \in X \; \forall x \in E (x \le b) \right)$.

Число $b$ называется верхней границей множества $E$.

Если элемент $b$ расположен в множестве $E$, то $b$ наибольший элемент в множестве $E$.

Определение. Пусть множество $X$ частично упорядоченное множество, и пусть $E$ подмножество $X$ или совпадающее с ним множество. Множество $E$ называется ограничивающим сверху, если существует такой элемент $a$ из множества $X$, что для $x \in E$, $x \ge a$ $\left(\exists a \in X \; \forall x \in E (x \ge a) \right)$.

Число $a$ называют нижней границей множества $E$.

Если элемент $a$ принадлежит множеству $E$, то он в этом множестве наименьший.

Очевидно, что у ограниченного снизу множества существует бесконечно много нижних границ, а у ограниченного сверху множества бесконечно много верхних границ.

Пример.

1) $N={1, 2, 3, \dots, n, \dots}$.

$N \subset R$

Множество $N$ не ограничено сверху, но ограничено снизу. В множестве $N$ есть наименьший элемент, равный $1$.

2) $E=\left\{ \frac{1}{n}, n \in N \right\}=\left\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{n}, \dots \right\}$

Изображение множества E

Множество $E$ ограничено снизу и ограничено сверху. $1$ - наибольший элемент в множестве $E$, а наименьшего элемента нет.

Определение. Множество $E \subseteq X$ называется ограниченным, сли оно ограничено сверху и снизу.

Если $\exists a, b \in X \; \forall x \in E \; (a \le x \le b)$, то ограниченность множества $E$ можно задать и так: $\exists c \ge 0 \; \forall x \in E \; \left(|x| \le c \right)$.

Как показывает рассмотренный выше пример, множества могут иметь не единственную верхнюю и нижнюю границу. Наибольший интерес представляет наименьшая из верхних границ и наибольшая из нижних границ.