Основные свойства множества действительных чисел

Совокупность основных свойств множества действительных чисел может быть принято за систему аксиом, основополагающую для построения теории действительных чисел.

1. Свойства суммы

$\forall a, b \in R$ операция $a+b$ называется суммой и обладает следующими свойствами:

1) Коммутативность сложения

 $\forall a, b \in R a+b=b+a$

Для любых действительных чисел a и b сумма a и b равна сумме b и a.

2) Ассоциативность сложения

 $\forall a, b, c \in R (a+b)+c=a+(b+c)$

Для любых действительных чисел a, b и c сумма a и b плюс c равна a плюс сумма b и c.

3) Свойство нуля

 $\forall a \in R \;\;\; \exists ! 0 \in R \;\;\; a+0=a$.

Для любого действительного числа a существует такое действительное число 0 и при том единственное, что сумма a и 0 равна a.

4) Свойство противоположного элемента

$\forall a \in R \;\;\; \exists (-a) \in R \;\;\; a+(-a)=0$.

Для любого действительного числа a существует такое действительное число -a, что их сумма равна нулю.

2. Свойства умножения

$\forall a, b \in R$ операция $a \cdot b$ называется произведением, и ей присущи следующие свойства:

1) Коммутативность умножения

 $\forall a, b \in R \;\;\; a \cdot b = b \cdot a$.

2) Ассоциативность умножения

 $\forall a, b, c \in R \;\;\; a \cdot (b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c$.

3) Свойство единицы

 $\forall a \in R \;\;\; \exists 1 \in R \;\;\; a \cdot 1 = a$.

4) Свойство обратного числа

 $\forall a \in R \;\;\; a \ne 0 \;\;\; \exists a^{-1} \in R \;\;\; a^{-1}=\frac{1}{a} \;\;\; a \cdot a^{-1}=1$.

Множество $R \setminus \{0\}$ относительно операции умножения является коммутативной группой.

3. Дистрибутивность умножения относительно сложения

$\forall a, b, c \in R \;\;\; (a+b) \cdot c = ac+bc$.

4. Свойства отношения порядка

Для любых действительных чисел a и b: или $a \le b$, или $a \ge b$. При этом выполняются следующие свойства:

1) Свойство полноты

 $\forall a, b \in R$ справедливо одно из трёх: $a=b$, $a>b \;\;\; (b<a)$, $a<b \;\;\; (b>a)$.

Для любых действительных чисел a и b справедливо одно из трёх утверждений: либо a и b равны, либо a больше b (b меньше a), либо a менше b (b больше a).

2) Рефлексивность

$\forall a \in R \;\;\; a \le a$.

Для любого действительного числа a: a меньше либо равно a.

3) Свойство тождества

 $\forall a, b \in R \;\;\; a \le b \;\;\; и \;\;\; a \ge b \Rightarrow a=b$.

Если для двух любых действительных чисел a и b выполняется условие a меньше либо равно b и b меньше либо равно a, то a и b равны.

4) Транзитивность

 $\forall a, b, c \in R \;\;\; a \le b \;\;\; и \;\;\; b \le c \Rightarrow a \le c$.

Для любых действительных чисел a, b, c: если a меньше либо равно b и b меньше либо равно c, то a меньше либо равно c.

5) Сохранение неравенства

  $\forall a, b, c \in R \;\;\; a \le b \Rightarrow a+c \le b+c$.

Для любых действительных чисел a, b, c, в случае выполнения неравенства a меньше либо равно b, при прибавлении к обоим частям неравенства одного и того же числа c знак неравенства остаётся прежним.

6) Правило знаков

 $\forall a, b \in R \;\;\; a \ge 0 \;\;\; и \;\;\; b \ge 0 \Rightarrow a \cdot b \ge 0$.

Произведение двух любых положительных действительных чисел положительно.

5. Аксиома Архимеда.

$\forall a \in R \;\;\; \exists n \in N \;\;\; a \le n$

6. Теорема (аксиома) Дедекинда.

Пусть заданы два множества $A$ и $B$ - не пустые, не пересекающиеся и в объединении дающие множество действительных чисел: $A \ne \emptyset , B \ne \emptyset , A \cap B = \emptyset , A \cup B = R$. И пусть $\forall a \in A \;\;\; \forall b \in B \;\;\; a<b$, тогда существует такое действительное число $c$, для которого выполняется следующее условие: $a \le c \le b$.

О множествах A и B говорят, что они образуют Дедекиндово сечение, а число c это сечение производит. Это число c принадлежит либо множеству A, тогда в множестве A есть наибольшее число, а в множестве B нет наименьшего числа, либо c принадлежит множеству B, тогда в множестве B оно наименьшее, а в множестве A нет наибольшего. Ясно, что число c, осуществляющее Дедекиндово сечение, единственно. Теорема Дедекинда формулирует свойство полноты (или непрерывности) множества действительных чисел.