Основные свойства абсолютной величины

1. Модуль суммы двух действительных чисел не привосходит суммы модулей этих чисел.

$|x+y| \le |x|+|y|$.

Доказательство.

Рассмотрим два случая.

1) Пусть $x$ и $y$ действительные числа одинаковых знаков, то есть $x \cdot y \ge 0$.

 $|x+y|=|\pm |x| \pm |y||=\left| \pm (|x|+|y|) \right|=|x|+|y|$.

2) Пусть $x$ и $y$ разных знаков. Причём, для определённости, пусть $|x| \ge |y|$. Тогда

$|x+y|=|\pm |x|\mp |y||=\left| \pm (|x|-|y|) \right|=|x|-|y|$,

$|x|-|y|<|x|+|y|$.

Таким образом для любых $x$ и $y$ выполнимо неравенство $|x+y| \le |x|+|y|$, причем знак равенства возможен только если $x$ и $y$ одинаковых знаков.

Замечание. Первое свойство можно распространить на любое конечное число слагаемых. Например:

$|x+y+z|=|(x+y)+x| \ge |x+y|+|z| \ge |x| + |y| + |z|$.

2. Модуль разности двух действительных чисел больше либо равен разности модулей этих чисел.

 $|x-y| \ge |x|-|y|$.

Доказательство.

$|x|=\left| (x-y)+y \right| \le |x-y|+|y|$,

$|x-y| \ge |x|-|y|$.

3. Модуль произведения двух или нескольких действительных чисел равен произведению модулей каждого из сомножителей

 $|x \cdot y \cdot z| = |x| \cdot |y| \cdot |z|$.

4. Модуль целой положительной или целой отрицательной степени равен соответственно степени модуля основания.

 $|x^ \alpha |=|x|^\alpha$.

5. Модуль частного двух действительных чисел равен частному модулей этих чисел, если делитель отличен от нуля.

$\left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|}$; $y \ne 0$.