Ограниченные функции

Определение. Функция $y = f(x)$, определённая на множестве $X$, называется ограниченной сверху на этом множестве, если $\exists b \; \forall x \in X \; (f(x) \le b)$.

Функция, ограниченная сверху

Графически ограниченность сверху означает, что существует такая прямая $y=b$, выше которой нет точек графика функции $y = f(x)$.

Число $b$ называется верхней границей функции $y = f(x)$ на множестве $X$.

Определение. Функция $y = f(x)$, определённая на множестве $X$, называется ограниченной снизу на множестве $X$, если $\exists a \; \forall x \in X \; (f(x) \ge a)$.

Функция, ограниченная снизу

Число $a$ называется нижней границей функции $f(x)$ на множестве $X$.

Графически ограниченность снизу означает существование такой прямой $y = a$, ниже которой нет точек графика функции $y = f(x)$.

Определение. Функция $y = f(x)$, определённая на множестве $X$, называется ограниченной на этом множестве, если $\exists a, \; b \; \forall x \in X \; (a \le f(x) \le b)$ или $\exists c > 0 \; \forall x \in X \; (|f(x)| \le c)$.

Функция, ограниченная на множестве

Определение. Число $M$ называется верхней гранью фунции $y = f(x)$ на множестве $X$, если выполнены следующие условия: 1) $\forall x \in X \; (f(x) \le M)$, 2) $\forall \varepsilon > 0 \; \exists x' \; (f(x') > M - \varepsilon)$.

$M = \sup\limits_{x \in X} f(x)$.

Определение. Число $m$ назвается нижней гранью функции $y=f(x)$ на множестве $X$, если выполнены условия: 1) $\forall x \in X \; (f(x) \ge m)$, 2) $\forall \varepsilon > 0 \; \exists x'' \in X (f(x'') < m + \varepsilon)$.

$m = \inf\limits_{x \in X} f(x)$.

$M = \sup\limits_{x \in X} f(x)$ назыается локально наибольшим значением, если $X \subset D(f)$ и глобально наибольшим значением, если $X = D(f)$.

$m = \inf\limits_{x \in X} f(x)$ назыается локально наименьшим значением, если $X \subset D(f)$ и глобально наименьшим значением, если $X = D(f)$.

Определение. Функция $y = f(x)$ называется неограниченной на множестве $X$, если $\overline{\exists c > 0 \; \forall x \in X \; (|f(x) \le c|)} \; \equiv \; \forall c > 0 \; \exists x \in X \; (|f(x)| > c)$.