Модуль действительного числа

Действительные числа могут быть как положительными, так и отрицательными. В некоторых случаях приходится игнорировать знак числа, то есть рассмотреть модуль (абсолютную величину) этого числа. Понятие абсолютной величины числа крайне важно.

Определение. Модулем (абсолютной величиной) действительного числа $x$ называют такое неотрицательное число $|x|$, что $|x|=\left\{ \begin{align} &x, x \ge 0, \\ -&x, x < 0. \\\end{align}\right.$

Пример.

а) $|5|=5$;

б) $|-5|=-(-5)=5$.

Если расположить действительные числа на числовой оси, то $|x|$ представляет собой расстояние от начала отсчёта до точки с абсциссой $x$.

Отсюда следует, что если $|x|$ удовлетворяет неравенству $|x|<a$ ($|x| \le a$), то

$-a<x<a$ ($-a\le x\le a$).

 

Модуль действительного числа x меньше a

Если же модуль действительного числа x удовлетворяет неравенству $|x|>a$ ($|x| \ge a$), то

$\left [ \begin{aligned} x&>a \\ x&<-a, \\ \end{aligned} \right.$ $\left( \left [ \begin{aligned} x& \le a, \\ x& \ge -a \\ \end{aligned} \right. \right)$.

 

Модуль действительного числа x больше a

В случае, если $|x-x_0|<a$, то

$x_0-a<x<x_0+a$.