Изображение действительных чисел на числовой прямой

Для геометрического изображения чисел служит числовая прямая.

Числовая прямая - это прямая, имеющая направление, начало отсчёта и единицу масштаба.

Числовая прямая

Натуральные числа изображаются точками на числовой прямой, отстоящими от начала отсчёта вправо на целое число единиц масштаба.

Целые положительные числа изображаются также, как и натуральные.

Целые отрицательные числа изображаются точками от начала отсчёта влево на соответствующее число единиц масштаба.

Рациональные числа вида $\frac{m}{n}$ изображаются точками числовой прямой так, что отрезок числовой прямой между целыми значаниями делят на $n$ частей и берут $m$ таких частичных отрезков.

Очевидно, что множество рациональных чисел не заполняет всю числовую прямую.

Согласно теореме Пифагора длина диагонали квадрата со стороной, равной единице масштаба, является иррациональным числом, которое равно $\sqrt 2$.

В результате, все действительные числа помещаются на числовой прямой, заполняя её полностью, без просветов, то есть каждому действительному числу соответствует единственная точка числовой прямой, и каждой точке числовой прямой соответствует единственное действительное число. Поэтому вместо слов "действительное число" говорят "точка" и наоборот.

Множество действительных чисел упорядочено. То есть для двух любых действительных чисел $a$ и $b$, не равных между собой, возможно лишь одно из неравенств:$a<b$ или $a>b$. Таким образом, на числовой прямой, расположенной горизонтально, и имеющей положительное направление слева направо, верно следующее точки, которым соответствуют меньшие действительные числа, лежат левее точек, которым соответствуют большие действительные числа.

Для приложений к множеству действительных чисел присоединяют два символа: $-\infty$, $+\infty$. Эти символы обладают следующим свойством: $\forall x\in R$ $-\infty<x<+\infty$. Такая система действительных чисел называется расширенной.

Предполагается, что верна следующая арифметика:

1) $x \pm \infty = \pm \infty$;

2) $\frac {x}{\pm \infty}=0$;

3) $x\cdot (\pm \infty)=\pm \infty$, если $x>0$,

     $x\cdot (\pm \infty)=\mp \infty$, если $x<0$.