Грани множеств

Определение. Число $m$ называется нижней гранью множества $E$, если оно является наибольшим из нижних границ множества $E$.

Обозначается нижняя грань: $m = \inf E$. Произносится $\inf$, как "инфимум" (от латинского infimum - самый низкий).

$m=\inf E \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} &\forall x \in E \; (x \ge m), \\ &\forall \varepsilon > 0 \; \exists x' \in E \; (x' < m + \epsilon). \\\end{align} \right.$

Определение. Число $M$ называется верхней гранью множества $E$, если оно является наименьшим из верхних границ множества $E$.

Обозначается верхняя грань: $M = \sup E$. Произносится $\sup$, как "супремум" (от латинского supremum - самый высокий).

$M = \sup E \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} &\forall x \in E \; (x \le M), \\ &\forall \varepsilon > 0 \; \exists x'' \in E \; (x'' > M - \epsilon). \\\end{align} \right.$

Пример.

Рассмотрим множество $E=\left\{\frac{1}{n} \right\}$. Оно ограничено и сверху и снизу.

$\sup E = 1 \in E$, $\inf E = 0 \notin E$.

Некоторые свойства граней

1. Если множество $A$ является подмножеством множества $B$ или совпадает с ним, то верхняя грань множества $A$ меньше либо равна верхней грани множества $B$, а нижняя грань множества $A$ больше либо равна нижней грани множества $B$.

$A \subseteq B \Rightarrow$ $\sup A \le \sup B$, $\inf A \ge \inf B$

Множество A - подмножество B

2. Для любых множеств $A$ и $B$ супремум (верхняя грань) суммы $A$ и $B$ равен сумме супремумов этих множеств. Аналогично для инфимума (нижней грани): инфимум суммы множеств $A$ и $B$ равен сумме инфимумов этих множеств.

$\forall A, B$: $\sup (A+B) = \sup A + \sup B$, $\inf (A + B) = \inf A + \inf B$.

$A + B = \{x + y, x \in A, y \in B \}$.

3. Для любых множеств $A$ и $B$ супремум (верхняя грань) произведения $A$ и $B$ равен произведению супремумов этих множеств. Аналогично для инфимума (нижней грани): инфимум произведения множеств $A$ и $B$ равен произведению инфимумов этих множеств.

$\forall A, B$: $\sup (A \cdot B) = \sup A \cdot \sup B$, $\inf (A \cdot B) = \inf A \cdot \inf B$.

$A \cdot B = \{x \cdot y, x \in A, y \in B \}$.

4. Для любого множества $A$, являющегося подмножеством множества действительных чисел супремум $-A$ равен минус инфимуму $A$, а инфимум $-A$ равен минус супремуму $A$.

$\forall A \subset R$: $\sup (-A) = - \inf A$, $\inf (-A) = - \sup (A)$.

$-A = \{-x, \; x \in A\}$.