Функции монотонные и кусочно монотонные

Определение. Функция $y=f(x)$, определённая на множестве $X$, называется строго возрастающей на этом множестве, если: $\forall x_1, \; x_2 \in X (x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2))$.

Пример.

$y=2x+5$, $D(y)=R$.

$\forall x_1, \; x_2 \in R \; x_1<x_2$

$f(x_1) - f(x_2) = 2x_1+5 - 2x_2 - 5 = 2(x_1 - x_2) < 0$ $\Rightarrow$ $f(x_1) < f(x_2)$ $\Rightarrow$ по определению функция возрастает на множестве $R$.

Определение. Функция $f(x)$, определённая на множестве $X$, называется строго убывающей на этом множестве, если $\forall x_1, \; x_2 \in X (x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$.

Функции строго убывающие и строго возрастающие задают взаимнооднозначное соответствие между областью определения и множеством значений функции и играют особую роль в математике.

Определение. Функция $f(x)$ называется возрастающей (неубывающей) на множестве $X$, если $\forall x_1, \; x_2 \in X (x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2)$.

Определение. Функция $f(x)$ называется убывающей (невозрастающей) на множестве $X$, если $\forall x_1, \; x_2 \in X (x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \ge f(x_2)$.

Функции строго возрастающая и строго убывающая, невозрастающая и неубывающая называются монотонными.

Определение. Функция $f(x)$ называется кусочно монотонной на множестве $X$, если $X$ есть пересечение конечного числа промежутков, на каждом из которых функция $f(x)$ монотонна.

Свойства монотонных функций.

1. Сумма возрастающих на множестве $X$ функций есть функция возрастающая.

2. Композиция возрастающих функций или функций убывающих есть функция возрастающая.

3. Композиция двух функций, одна из которых возрастает, а другая убывает, есть функция убывающая.