Функции чётные и нечётные

Определение. Функция $f(x)$ называется чётной, если: 1) $\forall x \in D(f) \; \exists (-x) \in D(f)$ (область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат); 2) $f(-x) = f(x)$.

Чётная функция

Согласно определению чётной функции ясно, что вместе с точкой $M(x_0, \; y_0) \in \Gamma_f$, существует точка $M'(-x_0, \; y_0) \in \Gamma_f$. Это означает симметриченость относительно оси $Oy$ графика чётной функции.

Определение. Функция $y=f(x)$ называется нечётной, если: 1) $\forall x \in D(f) \; \exists (-x) \in D(f)$, 2) $f(-x) = -f(x)$.

Нечётная функция

Согласно определению нечётной функции существуют точки $M(x_0, \; y_0) \in \Gamma_f$ и $M'э(-x_0, \; -y_0) in \Gamma_f$, что означает симметричность графика нечётной функции относительно начала координат.

Примеры.

1. $f(x) = \left\{ \begin{align} &1, \; x \in Q \\ &0, \; x \in I \end{align} \right.$.

$D(f(x)) = R$,

$f(-x) = \left\{ \begin{align} &1, \; x \in Q \\ &0, \; x \in I \end{align} \right. = f(x)$.

$f(x)$ - чётная.

2. $y = \ln (x+1)$.

$D(y) = (-1, \; +\infty)$.

Функция $y = \ln (x+1)$ не обладает свойствами чётности и нечётности.

3. $y = \sqrt{5 - x^2}$.

$D(y) = [-\sqrt 5, \; \sqrt 5]$,

$y(-x) = \sqrt {5 - (-x^2)^2} = \sqrt {5 - x^2} = y(x)$.

Функция $y = \sqrt{5 - x^2}$ чётная.

Свойства чётных и нечётных функций

1°. Сумма двух чётных функций есть функция чётная.

2°. Сумма двух нечётных функций есть функция нечётная.

3°. Произведение двух чётных функций есть функция чётная.

4°. Произведение двух нечётных функций является чётной функцией.

5°. Произведение двух функций, одна из которых чётная, а другая нечётная, есть функция нечётная.

Доказательство 5°.

$(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$, $f(x)$ - чётная, $g(x)$ - нечётная.

$(f \cdot g)(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = f(x) \cdot (-g(x)) =$

$=-f(x) \cdot g(x) = -(f \cdot g)(x)$.

Следовательно исходная функция нечётная.

Теорема. Всякая функция $f(x)$ с областью определения $D(f)$, симметричной относительно начала координат, представима единственным образом в виде суммы чётной и нечётной функции, имеющих область определения $D(f)$.

Доказательство.

$\forall x \in D(f)$

$f(x) = \varphi (x) + g(x)$

$\varphi (x) = \frac{1}{2} (f(x) + f(-x))$

$g(x) = \frac{1}{2} (f(x) - f(-x))$

Требуется доказать, что одна из этих функций чётная, а другая нечётная.

$\varphi (-x) = \frac{1}{2} (f(-x) + f(x)) = \varphi (x)$ - чётная.

$g(x) = \frac{1}{2} (f(-x) - f(x)) = -g(x)$ - нечётная.