Функции

В определении отображения множеств $X$ и $Y$ рассматривались множества любой природы. Если же в качестве $X$ и $Y$ мы будем рассматривать подмножество действительных чисел, то отображение $y=f(x)$ будем называть действительной функцией действительной переменной.

Пусть даны множества $D(f)$ и $M$ - подмножества множества действительных чисел.

Определение. Действительной функцией действительной переменной называется такое соответствие, при котором каждому элементу из множества $D(f)$ сопостовляется единственный элемент из множества $M$, и обозначается $y=f(x)$.

$x$ - независимая переменная, аргумент.

$y$ - зависимая переменная, функция.

$D(f)$ - область определения функции.

$E(f) \subset M$ - множество значений функции.

Понятие функции представляет собой одно из основных математических понятий, при помощи которых моделируются многие естественные процессы и являения. Поэтому, изучая какой-либо процесс, нужно выяснить связи и закономерности, которые в нём существуют. Математически это означает, что нужно найти зависимости, существующие между величинами.

Функцию считают заданной, если заданы: область её определения и закон соответствия.

Способы задания функций

1. Аналитический.

Аналитический способ задания функции предполагает задание функции с помощью формулы, в которой отражена зависимость между $x$ и $y$.

Стоит отметить, что под функцией, заданной некоторой формулой, понимается функция, определённая на множестве всех значений аргументов, для которых указанная формула имеет смысл. Главное достоинство этого способа - широкие возмножности математического аппарата для исследования свойств функции. Недостаток - слабая наглядность.

2. Графический.

Соответствие между $x$ и $y$ устанавливается с помощью заданного графика. Часто график вычерчивается самопишущими приборами. Графическое задание удобно тем, что по графику функции можно составить впечатление о том, как происходит моделируемый процесс. Недостаток - невозможность использования математических аналитических методов исследования.

3. Табличный.

В этом случае функция задаётся таблицей некоторых значений аргумента, соответствующих некоторым значаниям функции. На практике часто функция задаётся таблицей, как результат опыта или наблюдения. Очевидным недостатком этого способа является отсутствие наглядности и невозможность вычисления промежуточных значений.

4. Алгоритмический.

Задаётся алгоритм или программа, согласно которой значение функции вычисляется автоматически.

5. Словесный.

Функция задаётся, как словесное описание значения функции, соответствующее значению аргумента.

Примеры.

1) Словесное.

Функция Антье: Антье от $x$ равна наибольшему целому числу, не превосходящему число $x$.

$y=[x]$. $y[5,03]=5$, $y[-4,2]=-5$.

2) Словесное и аналитическое.

Функция Дирихле. Функция равна единице, если аргумент является рациональным числом, и функция равна нулю, если аргумент - не рациональное число.

$D(x) = \left\{ \begin{align} &1, x \in Q \\ &0, x \in R \backslash Q \end{align} \right.$.

График функции.

Графиком функции $f$ действительной переменной назовём множество пар $x$ и $y$, у которых $x \in D(f)$, $y \in M$, таких что $y=f(x)$.

$\Gamma = \{ (x; y) \in D(f) \times M, \; y=f(x)$.

Геометрически каждая упорядоченная пара $x$ и $y$ на плоскости изображается точкой, поэтмоу график функции есть множество точек плоскости, абсциссы которых принадлежать области определения функции, а координаты равны $f(x)$.

Часто указанное множество точек образует некоторую линию. Однако не всякая кривая на плоскости может быть графиком некоторой функции, а только такая, которая пересекается вертикальной прямой не более, чем в одной точке.

Кривая. Не график

На рисунке изображён тот случай, когда кривая не является графиком функции.

Тип материала: