Действительные числа

Натуральные числа

Исторически первыми возникли натуральные числа $N$, как результат пересчета пердметов. Множество этих чисел бесконечно и образует натуральный ряд $N=\{1, 2, 3, ..., n, ...\}$. В этом множестве выполнимы операции сложения и умножения. Для выполнения операции вычитания потребовались новые числа, что привело к появлению множества целых чисел: $Z$. $Z=N_+\cup N_- \cup \{0\}$. Таким образом в множестве целых чисел всегда выполняются операции сложения, умножения, вычитания.

Рациональные числа

Необходимость выполнения деления привела к множеству рациональных чисел $Q$. $Q=\{\frac{m}{n}, m\in Z, n\in N\}$.

Определение. Два рациональных числа равны: $\frac{m_1}{n_1}=\frac{m_2}{n_2}$ - если $m_1\cdot n_2=n_1\cdot m_2$. Это означает, что всякое рациональное число можно представить единственным образом в виде несократмой дроби $\frac{m}{n}$. $НОД(m, n)=1$.

Свойства множества рациональных чисел

1. В результате арифметических операций над рациональными числами (сложение, умножение, вычитание, деление, кроме деления на ноль) получается рациональное число.

2. Множество рациональных чисел упорядочено, то есть для любой пары рациональных чисел $a$ и $b$ либо $a<b$, либо $a>b$.

3. Множество рациональных чисел плотно, то есть для любой пары рациональных чисел $a$ и $b$ существует такое рациональное число $c$, что $a<b<c$. Очевидно, что таких чисел бесконечное множество.

Всякое положительное рациональное число всегда можно представить в виде десятичной дроби: либо конечной, либо бесконечной периодической. Например: $\frac{3}{5}=0,6$, $\frac{1}{3}=0,333...=0,(3)$.

$\frac{m}{n}=a_0,a_1a_1...a_kb_1b_2b_3...b_nb_1b_2b_3...b_n...$.

$b_1b_2b_3...b_n...$ - называется периодом десятичной дроби, где не все $b_i=0$.

Заметим, что конечная дробь может быть записана в виде бесконечной периодической с нулем в периоде. $\frac{m}{n}=a_0,a_1a_1...a_k000000...$, $a_k\ne0$.

Однако, чаще встречается другое представление рациональных чисел в виде десятичной дроби: $\frac{m}{n}=a_0,a_1a_1...(a_k-1)999...$.

Отрицательные рациональные числа $-\frac{m}{n}$ записываютсяв виде десятичного разложения рационального числа вида $\frac{m}{n}$, взятого с противоположным знаком.

Число $0$ представляется в виде $0,000...$.

Таким образом, всякое рациональное число всегда представимо в виде бесконечной десятичной периодической дроби не содержащей $0$ в периоде, кроме самого числа $0$. Такое представление единственное.

Иррациональные числа

Множество рациональных чисел замкнуто относительно четырёх арифметических операций. Однако в множестве рациональных чисел не всегда имеет место решение простейшего уравнения вида $x^2-n=0$. Поэтому возникает необходимость введения новых чисел.

Покажем, что среди рациональных чисел нет числа, квадрат которого равен трём. Доказательство проведём методом от противного.

Предположим, что существует рациональное число $\frac{m}{n}$ такое, что его квадрат равен трём: $\left(\frac{m}{n}\right)^2=3\;\;\;(1)$.

Будем считать дробь $\frac{m}{n}$ несократимой.

$\frac{m^2}{n^2}=3$,

$m^2=3n^2.\;\;\;(2)$

Правая часть равенства (2) делится на 3. Значит и $m^2$ делится на 3, следовательно $m$ делится на 3, а это значит, что $m=3k$. Подставим в равенство (2), получим:

$9k^2=3n^2$,

$3k^2=n^2.\;\;\;(3)$

Левая часть равенства $(3)$ делится на $3$, значит и правая часть делится на $3$. Следовательно $n^2$ делится на $3$, значит и $n$ делится на $3$, откуда $n=3p$. В результате получаем: $\frac{m}{n}=\frac{3k}{3p}$, то есть дробь $\frac{m}{n}$ оказалась сократимой, что противоречит предположению. Значит, среди рациональных чисел нет такого числа, квадрат которого равен трём.

Но число, квадрат которого равен трём, существует. Оно представимо в виде бесконечной непериодической дроби. И мы получили новый вид чисел. Назовём их иррациональными.

Определение. Иррациональным числом называется любая бесконечная непериодическая дробь.

Множество всех бесконечных непериодических дробей называется множеством иррациональных чисел и обозначается $I$.

Действительные числа

Объединение множества рациональных чисел $Q$ и иррациональных чисел $I$ даёт множество действительных чисел $R$: $Q\cup I=R$.

Множество действительных чисел

 

Таким образом всякое действительное число представимо в виде бесконечной десятичной дроби: периодической в случае рационального числа и непериодической в случае иррационального числа.

Сравнение действительных чисел

Для действительных чисел $a=a_0,a_1a_2a_3\ldots a_n\ldots$, $b=b_0,b_1b_2b_3\ldots b_n\ldots$ сравнение осуществляется следующим образом:

1) Пусть $a$ и $b$ оба положительны: $a>0$, $b>0$, тогда:

$a=b$, если для любого $k$ $a_k=b_k$;

$a>b$, если $\exists s$ $\forall k<s$: $a_k=b_k$, $a_s>b_s$.

2) Пусть $a>0$, $b<0$, или иначе: $b<0<a$, следовательно $b<a$.

3) Пусть $a$ и $b$ оба отрицательны: $a<0$, $b<0$, тогда:

$a=b$, если для $-a=-b$;

$a>b$, если $-a<-b$.