Бесконечные десятичные дроби

Теорема. Всякое положительное действительное число может быть изображено с помощью бесконечной десятичной дроби, и каждой бесконечной положительной десятичной дроби соответствует определённое положительное действительное число.

Доказательство.

1) Прямое утверждение.

Пусть $x$ - какое-либо положительное действительное число. На основании аксиомы Архимеда существует натуральное число $a_0$, удовлетворяющее условию $a_0 \le x \le a_0+1$. Разделим отрезок $[a_0; a_0+1]$ на десять равных частей, среди чисел $0, 1, 2, \dots , 9$ найдётся единственное число $a_1$, удовлетворяющее условию: $a_0+\frac{a_1}{10} \le x \le a_1+\frac{a_1+1}{10}$.

Аналогично предыдущему, разделим отрезок $[a_0+\frac{a_1}{10} ; a_1+\frac{a_1+1}{10}]$ на десять равных частей, тогда найдётся такое число $a_2$, что $a_0+\frac{a_1}{10} +\frac{a_2}{100} \le x \le a_1+\frac{a_1+1}{10} +\frac{a_2+1}{100}$.

Отрезок $[a_0+\frac{a_1}{10} +\frac{a_2}{100} ; a_1+\frac{a_1+1}{10} +\frac{a_2+1}{100}]$ вновь разделим на десять частей и среди чисел $0, 1, 2, \dots , 9$ найдём единственное значение $a_3$, для которого $a_0+\frac{a_1}{10} +\frac{a_2}{100} +\frac{a_3}{1000} \le x \le a_1+\frac{a_1+1}{10} +\frac{a_2+1}{100}+\frac{a_3+1}{1000}$.

Продолжая этот процесс неограниченно, получим бесконечную последовательность вложенных сегментов:

$[a_0; a_0+1] \supset [a_0+\frac{a_1}{10} ; a_1+\frac{a_1+1}{10}] \supset$

$\supset [a_0+\frac{a_1}{10} +\frac{a_2}{100} +\frac{a_3}{1000} ; a_1+\frac{a_1+1}{10} +\frac{a_2+1}{100}+\frac{a_3+1}{1000}] \supset \dots$.

Все эти сегменты содержат точку $x$, а так как длины этих сегментов стремятся к нулю, то по теореме Кантора точка $x$ является единственной точкой, принадлежащей всем сегментам. Таким образом, положительному действительному числу поставлена в соответствие бесконечная десятичная дробь $a_0, a_1a_2a_3\dots$.

2) Обратное утверждение.

Пусть дана бесконечная десятичная дробь $a_0, a_1a_2a_3\dots$ . Составим последовательность вложенных сегментов:

$[a_0; a_0+1] \supset [a_0+\frac{a_1}{10} ; a_1+\frac{a_1+1}{10}] \supset$

$\supset [a_0+\frac{a_1}{10} +\frac{a_2}{100} +\frac{a_3}{1000} ; a_1+\frac{a_1+1}{10} +\frac{a_2+1}{100}+\frac{a_3+1}{1000}] \supset \dots$.

Так как длина n-ого сегмента равна $\frac{1}{10^{n-1}}$, и, следовательно, стремится к нулю при $n \to \infty$, то теореме Кантора существует единственная точка $x$, принадлежащая всем этим сегментам, которую и поставим в соответствие заданной бесконечной десятичной дроби $a_0, a_1a_2a_3\dots$ . $\diamond$

Доказанная теорема является ещё одной эквивалентной формулировкой аксиомы непрерывности множества действительных чисел.