Арифметические операции над функциями. Сужение и композиция

Определение. Две функции $f(x)$ и $g(x)$ равны если: 1) $D(f) = D(g)$, 2) $\forall x \in D(f) \;\; f(x) = g(x)$.

Определение. Две функции $f(x)$ и $g(x)$ равны на множестве $X$, если $\forall x \in X \;\; f(x) = g(x)$.

Определение. Суммой функций $f(x)$ и $g(x)$ называется функция $(f+g)(x)$, которая для каждого $x$ из $X$ принимает значение $f(x)+g(x)$.

$(f + g)(x) = f(x) + g(x)$,

$D(f + g) = D(f) \cap D(g)$.

Аналогично определяется произведение функций:

$(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$,

$D(f \cdot g) = D(f) \cap D(g)$.

Разность функций:

$(f - g)(x) = f(x) -g(x)$,

$D(f - g) = D(f) \cap D(g)$.

Частное функций:

$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$,

$D(\frac{f}{g}) = D(f) \cap D(g) \backslash M_g$, $M_g = \{x \in D(g): \; g(x) = 0\}$.

Определение. Пусть $f(x)$ функция, отображающая $x$ в $y$, а функция $\varphi(x)$ является отображением $x_1$ в $y_1$. Функция $\varphi(x)$ называется сужением функции $f$ на множестве $x_1$, если $x_1 \subset X$, а $f(x) = \varphi (x) \; \forall x \in X_1$. При этом функция $f(x)$ называется расширением функции $\varphi (x)$.

Пусть множества $X$, $Y$, $Z$ - не пустые и пусть $f$ - это некоторая функция из множества $X$ в множество $Y$, а $\varphi$ - из множества $Y$ в множество $Z$, причём $E(f) \subseteq D(\varphi)$.

Определение. Функция $F$ из множества $X$ в множество $Z$, заданная равенством $F=f(\varphi (x))$ называется композицией или суперпозицией функций $f$ и $\varphi$.

Обозначается композиция (суперпозиция): $f \circ \varphi$.

Пример. $f=e^y$, $y=\cos x$: $F = e^{\cos x}$.

Заметим, что можно рассматривать композиции любого числа функций. Например, $y=\sqrt{\sin^3 \ln (5-x^2)}$: $y=\sqrt z$, $x=t^3$, $t=\sin u$, $u=\ln v$, $v=5-x^2$.