Знакопеременные ряды

Определение. Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены называются знакопеременными.

$a_1 + a_2 + \dots + a_k + \dots = \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \;\;\; (1)$

Если в ряде (1) имеется лишь конечное число положительных или отрицательных элементов, то, отбрасывая из, получим ряд, члены которого имеют постоянный знак. Причём, такая операция не повлияет на сходимость исходного ряда. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только те виды рядов, у которых бесконечное количество отрицательных и положительных членов.

Вместе с рядом (1) рассмотрим ряд, составленный из модулей членов ряда (1):

$|a_1| + |a_2| + \dots + |a_k|+ \dots = \sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_n| \;\;\; (2)$

Определение. Знакопеременный ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится он сам, а также сходится ряд (2), составленный из модулей членов ряда (1).

Определение. Знакопеременный ряд (1) сходится условно, если он сам сходится, а ряд (2) расходится.

Теорема. Абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Доказательство.

Пусть ряд (2) сходится, тогда по критерию Коши сходимости ряда будем иметь: $\forall \varepsilon >0 \; \exists n_0 \; \forall n, m \left( n>m>n_0 \Rightarrow \left| \sum\limits_{k=m+1}^{n} |a_k| \right| < \varepsilon \right)$ или $\forall \varepsilon >0 \; \exists n_0 \; \forall n, m \left( n>m>n_0 \Rightarrow \sum\limits_{k=m+1}^{n} |a_k| < \varepsilon \right)$.

Так же имеем: $\left| \sum\limits_{k=m+1}^{n} a_k \right| \le \sum\limits_{k=m+1}^{n} |a_k|$.

Получаем, что $\forall \varepsilon >0 \; \exists n_0 \; \forall n, m \left( n>m>n_0 \Rightarrow \left| \sum\limits_{k=m+1}^{n} a_k \right| < \varepsilon \right)$. А это означает сходимость ряда (1).

Таким образом доказано, что абсолютно сходящийся ряд всегда сходится. $\star$

Пример.

Дан знакопеременный ряд $\frac{\sin \alpha}{1} + \frac{\sin 2\alpha}{2^2} + \frac{\sin 3\alpha}{3^2} + \dots + \frac{\sin n\alpha}{n^2} + \dots$.

Составим ряд из модулей членов исходного ряда:

$\frac{|\sin \alpha |}{1} + \frac{|\sin 2\alpha |}{2^2} + \frac{|\sin 3\alpha |}{3^2} + \dots + \frac{|\sin n\alpha |}{n^2} + \dots$

Получили знакоположительный ряд.

Рассмотрим обобщённый гармонический ряд: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$. Он сходится так как показатель степени больше единицы (равен двум).

Применим признак сравнения.

$\frac{| \sin n\alpha |}{n^2} \le \frac{1}{n^2}$.

Получим, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{| \sin n\alpha |}{n^2}$ сходится. Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно. $\star$

Построим два вспомогательных ряда.

$p_1 + p_2 + \dots + p_k + \dots = \sum\limits_{n=1}^{\infty} p_n \;\;\; (3)$

Получен из ряда (1) заменой всех отрицательных членов нулями, а положительные члены оставлены неизменными.

$q_1 + q_2 + \dots + q_k + \dots = \sum\limits_{n=1}^{\infty} q_n \;\;\; (4)$

Ряд составлен из ряда (1) заменой всех положительных членов нулями, а отрицательных их модулями.

Теорема. Если знакопеременный ряд (1) сходится абсолютно, то ряды (3) и (4) сходятся, причём $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} p_n - \sum\limits_{n=1}^{\infty} q_n \;\;\; (5)$. Если же знакопеременный ряд (1) сходится условно, то ряды (3) и (4) оба расходятся.

Доказательство.

1. Пусть ряд (1) сходится абсолютно, то есть сходятся ряд (1) и ряд (2), составленный из модулей слагаемых ряда (1). Используя сложение рядов и умножение ряда на вещественное число можно утверждать, что ряды (3) и (4) сходятся, так как по построению этих рядов ясно, что

$p_n = \frac{a_n + |a_n|}{2} = \left\{ \begin{aligned} &a_n, a_n \ge 0,\\ &0, a_n < 0.\\ \end{aligned} \right.$

$q_n = \frac{|a_n| - a_n}{2} = \left\{ \begin{aligned} &0, a_n > 0,\\ &|a_n|, a_n \le 0.\\ \end{aligned} \right.$

$a_n = p_n - q_n$

$\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n = \sum \limits_{n=1}^{\infty} p_n - \sum \limits_{n=1}^{\infty} q_n \;\;\; (5)$

2. Пусть ряд (1) сходится условно.

Если бы ряд (3) или ряд (4) сходились, то из равенства $a_n = p_n - q_n$ следовало бы, что должен сходиться и другой ряд. А тогда из равенства $|a_n| = p_n + q_n$ следовало бы, что и ряд, составленный из модулей членов ряда (1), тоже сходится. Что противоречит условию. Следовательно обя ряда (3) и (4) одновременно расходятся. $\star$