Знакочередующиеся ряды

Определение. Знакочередующимся рядом называется ряд, у которого положительные и отрицательные члены следуют друг за другом строго поочерёдно.

$a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \dots + (-1)^{n+1} a_n + \dots = \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \;\;\; (1)$

Теорема. (Признак Лейбница). Если модули членов знакочередующегося ряда (1) убывая стремятся к нулю, то ряд (1) сходится, при этом его сумма $0 \le S \le a_1$.

Доказательство.

Рассмотрим частичную сумму чётного числа слагаемых:

$S_{2k} = \sum\limits_{n=1}^{2k} (-1)^{n+1} a_n =$

$= (a_1 - a_2) + (a_3 - a_4) + \dots + (a_{2k-1} - a_{2k})$.

В силу того, что члены ряда (1) по абсолютной величине убывают для $\forall k \;\; (a_k - a_{k+1}) \ge 0$ и тогда $S_{2k} \ge 0$.

С другой стороны :

$S_{2k} = a_1 - (a_2 - a_3) - (a_4 - a_5) - \dots - a_{2k} \;\;\; (2)$.

Тогда получаем, что $S_{2k} \le a_1$.

Рассмотрим теперь частичную сумму нечётного числа слагаемых $S_{2k + 1} = S_{2k} + a_{2k + 1}$.

Переходя к пределу получим:

$\lim\limits_{k \rightarrow \infty} S_{2k+1} = \lim\limits_{k \rightarrow \infty} S_{2k} + \lim\limits_{k \rightarrow \infty} a_{2k + 1} = \lim\limits_{k \rightarrow \infty} S_{2k} = S$.

Из равенства (2) очевидно, что последовательность частичных сумм $S_{2k}$ не убывает и ограничена сверху. Поэтому имеет предел, который обозначим через $S$. В итоге получим $0 \le S \le a_1$. $\star$

Пример.

Дан знакочередующийся ряд:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$.

Воспользуемя признаком Лейбница:

1) модули членов убывают: $\forall n \;\; \left| \frac{(-1)^{n+2}}{n+1} \right| < \left| \frac{(-1)^{n+1}}{n} \right|$;

2) модули членов стремятся к нулю: $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left| \frac{(-1)^{n+1}}{n} \right| = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0$.

Значит по признаку Лейбница исходный ряд сходится.

Ряд, составленный из модулей членов исходного ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ расходится.

Следовательно исходный ряд сходится условно. $\star$

Пусть для ряда (1) выполнен признак Лейбница. Рассмотрим остаток ряда (1) $r_k = \sum\limits_{k=n+1}^{\infty} (-1)^{k+1} a_k$ - этот ряд, как и ряд (1) является знакочередующимся рядом. Причём, при чётном $k$ первый его член неотрицателен, а при нечётном $k$ - неположителен. Видно, что знак $r_k$ совпадает со знаком первого члена остатка и всегда по выше доказанной теореме $|r_k| \le a_{k+1}$.

Таким образом модуль остатка ряда не превосходит модуль первого слагаемого ряда, составляющего остаток, что широко применяется в практике приближённых вычислений.

Пример.

Найти сумму ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{24} + \frac{1}{120} - \frac{1}{720} + \dots$ с точностью не менее, чем до 0,01.

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n!} = 0$, значит по признаку Лейбница ряд сходится.

Так как $a_5 = \frac{1}{120}$, то сумма исходного ряда приблизительно равна:

$S \approx 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{24} = \frac{24-12+4-1}{24} = \frac{5}{8}$.