Дифференциальное исчисление. Скорость

В XVII  веке независимо друг от друга Ньютон и Лейбниц дали теоретическое обоснование решения двух важнейших задач: о скорости неравномерного движения и о касательной к кривой. Это привело к созданию дифференциального и интегрального исчислений и явилось началом нового периода в математике - периода переменных величин.

Скорость

Пусть материальная точка движется вдоль направленной прямой и пусть точка $O$ - начло отсчета, $S$ - расстояние от $O$ до данной точки, $t$ - время. Тогда функция $S=f(t)$ выражает зависимость пройденного расстояния от времени, где $t\in <a, b>$.

Выберем некоторый момент времени $t_0 \in (a, b)$ и для некотрого $t\in <a, b>$ через  $\Delta t=t-t_0$. Моментам времени $t_0$ и $t=\Delta t+t_0$ сопоставим $S(t_0)$ и $S(t)=S(t_0+\Delta t)$. Получим: $S(t)-S(t_0)=\Delta S=S(t_0+\Delta t) - S(t_0)$. Значит за время $\Delta t$ точка переместится на расстояние $\Delta S$ при условии, что $\Delta t \ne 0$.

Отношение $\frac{\Delta S}{\Delta t}=\frac{S(t_0+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}=V_{ср.}$ называется средней скоростью движения точки на отрезке времени от $t_0$ до $t_0+\Delta t$.

Мгновенная скорость характеризует движение точки в момент времени $t_0$ и определяется как предел средней скорости, при условии, что $\Delta t \to 0$.

$$V=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta S}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{S(t_0+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}$$