Непрерывность дифференцируемой функции

Теорема.

Если функция в данной точке дифференцируема, то в этой точке функция непрерывна.

Доказательство.

Пусть функция $y=f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, тода приращение этой функии равно $\Delta y = A \cdot \Delta x + \alpha (\Delta x) \cdot x$.

При стремлении приращения аргумента функции $\Delta x$ к нулю приращение функции $\Delta y$ также стремится к нулю, а это и означает непрерывность функции.

То есть в итоге мы получили, что функция $y=f(x)$, дифференцируемая в точке $x_0$, является в этой точке и непрерывной функцией. Что и требовалось доказать.

Таким образом непрырывность функции в данной точке является необходимым, но недостаточным условием для дифференцируемости функции.

Пример.

Функция $y=|x|$ в точке $x_0$ является непрерывной функцией, но в этой точке функция не дифференцируема.

Действительно, приращение функии равно:

$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = |\Delta x|$.

При этом получаем:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \left\{ \begin{aligned} 1, \Delta x > 0, \\ -1, \Delta x < 0 \\ \end{aligned} \right.$.

Предел $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ не существует, а значите функцкия $y=|x|$, непрерывная в точке $x_0$, не дифференцируема в этой точке.