Дифференцируемость и производная

Рассмотрим два основных понятия дифференциального исчисления: поняти дифференцируемой функции и понятие производной функции в данной точке.

Пусть функция $y=f(x)$ определена на $<a, b>$  и пусть точка $x_0$ - фиксированная точка данного промежутка, а $x$ - произвольная точка промежутка $<a, b>$.  Обозначим через $\Delta x=x-x_0$ приращение аргумента, а через $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ приращенеи функции, вызванное заданным приращением аргумента.

График функции. Приращение аргумента и функции

Определение. Функция $y=f(x)$ называется дифференцируемой в точке $x_0$, если приращение функции, вызванное приращением аргумента представимо в виде $\Delta y=A\cdot \Delta x+\alpha(\Delta x)\cdot \Delta x$ (1), где $A$ от $\Delta x$ не зависит, а $\alpha (\Delta x)$ - есть бесконечно малая в данной точке, то есть $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha(\Delta x)=0$, слагаемое $A\cdot \Delta x$ линейно относительно $\Delta x$, а второе слагаемое $\alpha(\Delta x)\cdot \Delta x$ есть бесконечно малая более высокого порядка малости, чем $\Delta x$, как произведение двух бесконечно малых.

Пример. Показать, что функия $y=3x^2+2$ дифференцируема в каждой точке области определения.

$\Delta y=f(x+\Delta x) - f(x)=\left(3(x+\Delta x)^2+2\right)-(3x^2+2)=$

$=3x^2+6x\Delta x+3\Delta x^2+2-3x^2-2=6x\Delta x+3\Delta x^2=$

$=6x\cdot\Delta x+(x\Delta x)\cdot \Delta x$

Так как приращение $\Delta y$ представимо в виде (1), то функция $y=3x^2+2$ дифференцируема в каждой точке области определения.

Определение. Производной функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ назвается предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента при условии, что последний стремится к нулю.

 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x}{\Delta x}=y'=f'(x)$

Пример. $y=3x^2+2$.

 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{6x\cdot \Delta x+3(\Delta x)\Delta x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}(6x+3\Delta x)=6x$.

$y'=6x$.

Если производная точки существует в различных точках промежутка $<a, b>$, то её рассматривают, как функцию от переменной $x$ и используют обозначения производной $y'(x)$ и $f'(x)$.

Следующая теорема показывает связь между понятиями дифференцируемости и производной.

Теорема. Для того, чтобы функция $y=f(x)$ в точке $x_0$ была дифференцируема, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела производную.

Доказательство.

1. Необходимость.

Пусть функция дифференцируема в точке $x_0$, тогда ее приращение представимо в виде:

$\Delta y=A\Delta x+\alpha(\Delta x)\Delta x$.

При условии, что $\Delta x\ne 0$, рассмотрим $\frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\alpha(\Delta x)$. Правая часть данного равенства имеет предел в точке $x_0$, при условии, что $\Delta x \to 0$, равный $A$. Следовательно и левая часть равенства имеет предел, равный $A$: $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=A$, а следовательно существует производная функции в точке $x_0$.

2. Достаточность.

Пусть функция $y=f(x)$ в точке $x_0$ имеет производную $f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$.

Обозначим $\alpha(\Delta x)=\frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(x_0)$. Разность между функцией и её пределом есть величина бесконечно малая, а отсюда $\Delta y=f'(x_0)\Delta x+\alpha (\Delta x)\Delta x$. А это и есть определение дифференцируемой функции.