Проективное преобразование проективной плоскости

Определение. Отображение $f:P^2\to P^2$ называется проективным преобразованием плоскости $P^2$, если для всякой проективной системы координат $R$ существует проективная система координат $R'$, такая, что соответствующие относительно $f$ точки должны иметь относительно этих систем одинаковые координаты.

Например: $M\{ (x_1, x_2, x_3)\}_R$, $f(M)\{ (x_1, x_2, x_3)\}_{R'}$.

Из этого определения следует, что тождественное преобразование является проективным.

Теорема (Об аналитическом задании проективного преобразования). Пусть $f$ - проективное преобразование $P^2$, и в $P^2$ фиксирована координатная система $R$. Тогда $R\to f: \begin{pmatrix} x_1'\\ x_2'\\ x_3'\end{pmatrix}=C \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}$, где матрица $C$ - невырожденная. Верно и обратное.

Теорема. Пусть на плоскости $P^2$ фиксирована проективная система координат и отображение $f:P^2\to P^2$ задано уравнением $x'=Cx$, с условием $\det C\ne 0$, тогда утверждается, что $f$ - проективное преобразование.

Замечения:

- если проективные преобразования рассматривать в модели $S_0$, где $S_0$ - связка прямых, то они являются афинными преобразованиями относительно этой связки;
- если рассматривать проективные преобразования в векторной модели плоскости $P^2$, то их можно интерпретировать, как невырожденные линейные операторы.

Теорема. Если обозначить через $P(R^2)$ - совокупность всех преобразований $P^2$, то относительно умножения эта совокупность является группой.

Свойства проективного преобразования:

1. Под действием любого проективного преобразования проективная прямая переходит в проективную прямую.

2. Под действием проективного преобразования сохраняется сложное отношение четырёх точек.

Определение. Четыре точки проективной плоскости будем называть четвёркой общего расположения, если никакие из них не лежат на одной прямой.

Теорема. (Теорема Дарбу). Пусть на проективной плоскости даны две упорядоченные четвёрки точек общего расположения, тогда существует, и при том единственное, проективное преобразование плоскости $P^2$, которое переводит точки из первой четвёрки во вторую с сохранением порядка.