Кривые второго порядка на проективной плоскости

Определение. Кривой второго порядка на проективной плоскости $P^2$ или квадрикой называется совокупность всех таких точек из $P^2$, координаты которых удовлетворяют уравнению вида

$\sum\limits_{i,j=1}^3 b_{i,j}x_ix_j=0\;\;\;\;(1)$,

где $b_{i, j}$ - некоторое фиксированное дейстивтельное число (коэффициент уравнения) и $b_{i, j}=b_{j, i}$, при этом хотя бы один из коэффициентов $b_{i, j}$ отличен от нуля.

Левая часть уравнения $(1)$ является однородным многочленом второй степени.

Определение корректно, так как если уравнению $(1)$ удовлетворяют координаты какого-либо представителя точки $H$, то ему удовлетворяют координаты любого другого представителя точки $H$.

Типы кривых второго порядка

Алгебраическими средствами доказывается, что в $V^3$ существует такой базис, относительно которого левая часть уравнения $(1)$ принимает один из следующих видов:

 $\pm\left(u_1^2+u_2^2+u_3^2\right)$,

 $\pm\left(u_1^2+u_2^2-u_3^2\right)$,

 $\pm\left(u_1^2+u_2^2\right)$,

 $\pm\left(u_1^2-u_2^2\right)$,

 $\pm u_1^2$.

Сами уравнения кривой второго порядка будут иметь вид:

$u_1^2+u_2^2+u_3^2=0$,

 $u_1^2+u_2^2-u_3^2=0$,

 $u_1^2+u_2^2=0$,

 $u_1^2-u_2^2=0$,

 $u_1^2=0$.

На $P^2$ существует всего пять типов кривых второго порядка:

1. $u_1^2+u_2^2+u_3^2=0$ - пустое множество решений

2. $u_1^2+u_2^2-u_3^2=0$ - невырожденная кривая второго порядка или овальная линия

3. $u_1^2+u_2^2=0$ - решение $\{(0, 0, 1)\}$, уравнением задается одна проективная точка

4.  $u_1^2-u_2^2=0$ - две пересекающиеся прямые

5. $u_1^2=0$ - пара слившихся прямых.

Под действием произвольного проективного преобразования любая кривая второго порядка превращается в кривую второго порядка того же самого типа.

В связке $S_0$ кривая $\gamma$ изображается, как конус с вершиной в центре связки.

<Рисунок>

Если взять расширенную плоскость $A_*^2$, не проходящую через точку $O$, то она пересекает конус либо по эллипсу, либо по гиперболе, либо по параболе, то есть $\gamma$ на $A_*^2$ представляется одной из этих кривых.