Арифметическое n-мерное пространство

Определение. Всякую упорядоченную совокупность из $n$ чисел поля $P$  называют $n$-мерным вектором, а эти числа координатами этого векотра.

Обозначают в виде $\vec c=(c_1, c_2, c_3, \ldots , c_n)$.

Вектор столбец: $\vec a =  \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ \vdots \\ 3\\ \end{pmatrix}$

Определение. Множество $n$-мерных векторов, для которых определены следующие операции:

1) $\vec a = \vec b \leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} a_1&=b_1\\ a_2&=b_2\\ &\vdots \\ a_n&=b_n\\ \end{aligned} \right.$.

2) $\vec a+\vec b=(a_1+b_1, a_2+b_2, \ldots, a_n+b_n)$.

3) $\lambda \cdot \vec a=(\lambda \cdot a_1, \lambda \cdot a_2, \ldots, \lambda \cdot a_n)$.

называют $n$-мерным арифметическим пространством и обозначают $P^n$.

Свойства арифметического $n$-мерного пространства

1. Ассоциативность

$(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)$.

2. Коммутативность

$\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$.

3. Единственность решения уравнения

$\forall\;\vec a, \vec b\;\exists\;!\vec x\;\in P^n (\vec a+\vec x=\vec b)$.

4. Существование нейтрального элемента

$\exists \vec 0=(0, 0, 0, \ldots, 0)\;\;, \forall\vec a, \vec a+\vec 0=\vec a$

5. Существование противоположного вектора

$\exists \vec 0, \forall \vec a, \vec a+\vec 0=\vec a$.

 6. Ассоциативность скалярного умножения

$\forall\lambda, \mu \in R\;\;\;: \lambda(\mu\cdot\vec a)=(\lambda\cdot\mu)\vec a$

7.  Дистрибутивность умножения относительно сложения скаляров

$(\lambda+\mu)\vec a=\lambda\vec a+\mu\vec a$

8. Дистрибутивность умножения относительно сложения векторов

$\lambda\left(\vec a+\vec b\right)=\lambda\vec a+\lambda\vec b$

Определение. Если $\vec b=k\cdot\vec a$, то векторы $\vec a$ и $\vec b$ коллинеарны (пропорциональны).

Определение. $S=\{\vec a_1, \vec a_2, \ldots, \vec a_s\}$, $k_1\vec a_1, k_2\vec a_2, \ldots, k_s\vec a_s$ - эта сумма называется линейной комбинацией системы $S$. Обозначается линейная оболочка $Z(S)$.

Определение. Множество всех линейных комбинаций системы $S$ называется оболочкой системы $S$.

Свойства линейной оболочки

1. Линейная оболочка системы $S$ замкнута относительно операций: $\forall \vec a,\;\;\vec b\in Z(S) \Rightarrow \vec a+\vec b\in Z(S)$.

2. Линейная оболочка $Z(S)$ является пространством. $\forall \lambda\in P, \;\; \forall\vec a \in Z(S)\Rightarrow\lambda\cdot\vec a\in Z(S)$.