Приращение функции и приращение аргумента

Очень часто встречаются практические задачи, в которых необходимо найти разность между значениями функции в двух точках. При этом используются понятия «приращение функции» и «приращение аргумента функции». Эти понятия тесно связаны между собой. В письменной и устной речи вместо «приращение аргумента функции» чаще используют короткий вариант «приращение аргумента».
Рассмотрим каждое из понятий. Для этого рассмотрим функцию $y=f(x)$. Пусть она определена в точках $x_0$ и $x_1$.
В общем случае приращение аргумента есть не что иное, как изменение аргумента на какую-то величину. Причём, эта величина может быть как положительной, так и отрицательной, и даже равной нулю.
Обратимся к графику произвольной функции. На графике отмечены две точки, первой из которых соответствует абсцисса $x_0$, а второй – $x_1$. Приращением аргумента в данном случае будет величина, равная $x_1 – x_0$. Величина эта будет положительно, так как $x_1$ находится правее $x_0$ на оси $Ox$, то есть $x_1 > x_0$.
В случае если бы $x_1$ находилось левее $x_0$, то есть $x_1 < x_0$, то приращение аргумента было бы отрицательным.
Приращение функции и приращение аргумента
Обозначается приращение аргумента с помощью буквы греческого алфавита $Δ$ (читается «дельта») и буквы, обозначающей аргумент. В нашем случае это будет $Δx$ (читается «дельта икс»). Такое обозначение является наиболее распространённым.
Таким образом, получаем, что $Δx = x_1 – x_0$.
Подытожив всё выше сказанное, сформулируем определение приращения аргумента.
Определение. Приращением аргумента функции называется величина, равная разности между конечным и начальным значением аргумента: $Δx = x_1 – x_0$.
Рассмотрим значения функции в точках $x_0$ и $x_1$. В этих точках значения функции равны $f(x_0)$ и $f(x_1)$ соответственно.
Разность $f(x_1) – f(x_0)$ будет являться приращением функции.
Приращение функции обозначают так же с помощью буквы $Δ$ и добавляют к ней букву, обозначающую функцию. В нашем случае это $Δy$.
В результате получаем выражение: $Δy = f(Δx) = f(x_1) – f(x_0)$.
Примечание. Приращение функции $Δy$ рассматривается, как единый элемент; $y$ нельзя рассматривать, как произведение $Δ$ на $y$. Данное утверждение верно и для $Δx$.
Теперь установим взаимосвязь между приращением аргумента и приращением функции.
Как видно из рисунка, при изменении аргумента изменяется и значение функции. То есть приращение функции вызвано приращением аргумента.
Стоит помнить, что аргумент функции может быть обозначен любой другой буквой, отличной от $x$. Например, Но можно встретить и другие обозначения. К примеру, для функции $g(z)$ приращение функции будет обозначено $Δg$, а приращение аргумента $Δz$.