Первообразная

Что такое первообразная

ПервообразнаяВ более раннем материале был рассмотрен вопрос нахождения производной и были показаны её различные применения: вычисление углового коэффициента касательной к графику, решение задач на оптимизацию, исследование функций на монотонность и экстремумы. $\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits}$ $\newcommand{\ctg}{\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits}$ $\newcommand{\arctg}{\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits}$ $\newcommand{\arcctg}{\mathop{\mathrm{arcctg}}\nolimits}$

Задача нахождения скорости

Рисунок 1.

Так же была рассмотрена задача нахождения мгновенной скорости $v(t)$ с помощью производной по заранее известному пройденному пути, выражаемому функцией $s(t)$.

Задача нахождения пути

Рисунок 2.

Очень часто встречается и обратная задача, когда нужно найти путь $s(t)$, пройденный точкой за время $t$, зная скорость движения точки $v(t)$. Если вспомнить, мгновенная скорость $v(t)$ находится, как производная от функции пути $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Значит, чтобы решить обратную задачу, то есть вычислить путь, нужно найти функцию, производная которой будет равна функции скорости. Но мы-то знаем, что производная пути и есть скорость, то есть:  $s’(t) = v(t)$. Скорость равна произведению ускорения на время: $v=at$. Нетрудно определить, что искомая функция пути будет иметь вид: $s(t) = \frac{at^2}{2}$. Но это не совсем полное решение. Полное решение будет иметь вид: $s(t)= \frac{at^2}{2}+C$, где $C$ – некоторая константа. Почему именно так, будет рассказано далее. А пока проверим правильность найденного решения: $s'(t)=\left(\frac{at^2}{2}+C\right)'=2\frac{at}{2}+0=at=v(t)$.

Стоит заметить, что нахождение пути по скорости является физическим смыслом первообразной.

Полученная функция $s(t)$ называется первообразной функции $v(t)$. Довольно интересное и необычное название, не правда ли. В нём кроется большой смысл, который объясняет суть данного понятия и ведёт к его пониманию. Можно заметить, что в нём заключены два слова «первый» и «образ». Они говорят сами за себя. То есть это та функция, которая является исходной для имеющейся у нас производной. А мы по этой производной ищем ту функцию, которая была в начале, была «первой», «первым образом», то есть первообразную. Её иногда также называют примитивной функцией или антипроизводной.

Как нам уже известно, процесс нахождения производной называется дифференцированием. А процесс нахождения первообразной называется интегрированием.  Операция интегрирования является обратной для операции дифференцирования. Верно и обратное утверждение.

Определение. Первообразной для функции $f(x)$ на некотором интервале называется такая функция $F(x)$, производная которой равна этой функции $f(x)$ для всех $x$ из указанного интервала: $F’(x)=f(x)$.

У кого-то может возникнуть вопрос: откуда в определении взялись $F(x)$ и $f(x)$, если изначально речь шла о $s(t)$ и $v(t)$. Дело в том, что $s(t)$ и $v(t)$ – частные случаи обозначения функций, имеющие в данном случае конкретный смысл, то есть это функция времени и функция скорости соответственно. То же самое и с переменной $t$ – она обозначает время. А $f$ и $x$ – традиционный вариант общего обозначения функции и переменной соответственно. Стоит обратить особое внимание на обозначение первообразной $F(x)$. Во-первых, $F$ – заглавная. Первообразные обозначаются заглавными буквами. Во-вторых, буквы совпадают: $F$ и $f$. То есть, для функции $g(x)$ первообразная будет обозначаться $G(x)$, для $z(x)$ – $Z(x)$. Вне зависимости от обозначений правила нахождения первообразной функции всегда одинаковы.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Доказать, что функция $F(x)=\frac{1}{5}\sin5x$ является первообразной функции $f(x)=\cos5x$.

Для доказательства воспользуемся определением, а точнее тем фактом, что $F’(x)=f(x)$, и найдём производную функции $F(x)$: $F’(x)=(\frac{1}{5}  \sin5x)’=\frac{1}{5}\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Значит $F(x)=\frac{1}{5}  \sin5x$ является первообразной $f(x)=\cos5x$. Что и требовалось доказать.

Пример 2. Найти, каким функциям соответствуют следующие первообразные: а) $F(z)=\tg z$; б) $G(l) = \sin l$.

Чтобы найти искомые функции, вычислим их производные:
а) $F’(z)=(\tg z)’=\frac{1}{\cos^2 z}$;
б) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.

Пример 3. Какой будет первообразная для $f(x)=0$?
Воспользуемся определением. Подумаем, какая функция может иметь производную, равную $0$. Вспоминая таблицу производных, получаем, что любая постоянная будет иметь такую производную. Получаем, что искомая нами первообразная: $F(x)= C$.

Полученное решение можно объяснить геометрически и физически. Геометрически оно означает, что касательная к графику  $y=F(x)$ горизонтальна в каждой точке этого графика и, значит, совпадает с осью $Ox$. Физически объясняется тем, что точка, имеющая скорость, равную нулю, остаётся на месте, то есть пройденный ею путь неизменен. Исходя из этого можно сформулировать следующую теорему.

Теорема. (Признак постоянства функций). Если на некотором промежутке $F’(x) = 0$, то функция $F(x)$ на этом промежутке постоянна.

Пример 4. Определить, первообразными каких функций являются функции а) $F_1  = \frac{x^7}{7}$; б) $F_2  = \frac{x^7}{7}  – 3$; в) $F_3  = \frac{x^7}{7}  + 9$; г) $F_4  = \frac{x^7}{7}  + a$, где $a$ – некоторое число.
Используя определение первообразной, делаем вывод, что для решения этого задания нам нужно вычислить производные данных нам первообразных функций. При вычислении помним о том, что производная постоянной, то есть любого числа, равна нулю.
а) $F_1  =(\frac{x^7}{7})'= 7 \cdot \frac{x^6}{7}  = x^6$;
б) $F_2  =\left(\frac{x^7}{7}  – 3\right)'=7 \cdot \frac{x^6}{7}= x^6$;
в) $F_3  =(\frac{x^7}{7}  + 9)’= x^6$;
г) $F_4  =(\frac{x^7}{7}  + a)’ = x^6$.

Что мы видим? Несколько разных функций являются первообразными одной и той же функции. Это говорит о том, что у любой функции существует бесконечно много первообразных, и они имеют вид $F(x) + C$, где $C$ – произвольная константа. То есть операция интегрирования является многозначной в отличие от операции дифференцирования. Сформулируем на основании этого теорему, описывающую основное свойство первообразных.

Теорема. (Основное свойство первообразных). Пусть функции $F_1$ и $F_2$ являются первообразными функции $f(x)$ на некотором промежутке. Тогда для всех значений из этого промежутка справедливо следующее равенство: $F_2=F_1+C$, где $C$ – некоторая константа.

Факт наличия бесконечного множества первообразных можно интерпретировать геометрически. С помощью параллельного переноса вдоль оси $Oy$ можно получить друг из друга графики двух любых первообразных для $f(x)$. В этом заключается геометрический смысл первообразной.

Очень важно обратить внимание на то, что выбором константы $C$ можно добиться прохождения графика первообразной через определённую точку.

Множество графиков первообразных

Рисунок 3.

Пример 5. Найти первообразную для функции $f(x)=\frac{x^2}{3}+1$, график которой проходит через точку $(3; 1)$.
Найдём сначала все первообразные для $f(x)$: $F(x)=\frac{x^3}{9}+x + C$.
Далее найдём такое число C, при котором график $y=\frac{x^3}{9}+x + C$ будет проходит через точку $(3; 1)$. Для этого подставим координаты точки в уравнение графика и решим его относительно $C$:
$1= \frac{3^3}{9}+3 + C$, $C=-5$.
Получили график $y=\frac{x^3}{9}+x-5$, который соответствует первообразной $F(x)=\frac{x^3}{9}+x-5$.

Таблица первообразных

Таблицу формул для нахождения первообразных можно составить, используя формулы нахождения производных.

Таблица первобразных
Функции Первообразные
$0$ $C$
$1$ $x+C$
$a\in R$ $ax+C$
$x^n, n\ne1$ $\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
$\displaystyle \frac{1}{x}$ $\ln|x|+C$
$\sin x$ $-\cos x+C$
$\cos x$ $\sin x+C$
$\displaystyle \frac{1}{\sin^2 x}$ $-\ctg x+C$
$\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}$ $\tg x+C$
$e^x$ $e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$ $\displaystyle \frac{a^x}{\ln a} +C$
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $\arccos x+C$
$\displaystyle \frac{1}{1+x^2}$ $\arctg x+C$
$\displaystyle -\frac{1}{1+x^2}$ $\arcctg x+C$

Проверить правильность составления таблицы можно следующим образом: для каждого множества первообразных, находящегося в правом столбце найти производную, в результате чего получатся соответствующие функции, стоящие в левом столбце.

Некоторые правила нахождения первообразных

Как известно, многие функции имеют более сложный вид, нежели указанные в таблице первообразных, и могут представлять собой любое произвольное сочетание сумм и произведений функций из этой таблицы. И тут возникает вопрос, как вычислять первообразные подобных функций. К примеру, из таблицы мы знаем, как вычислить первообразные $x^3$, $\sin x$ и $10$. А как, например, вычислить первообразную $x^3-10\sin x$? Забегая вперёд, стоит отметить, что она будет равна $\frac{x^4}{4}+10\cos x$.
1. Если $F(x)$ первообразная для $f(x)$, $G(x)$ – для $g(x)$, то для $f(x)+g(x)$ первообразная будет равна $F(x)+G(x)$.
2. Если $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ и $a$ – константа, то для $af(x)$ первообразной будет $aF(x)$.
3. Если для $f(x)$ первообразной является $F(x)$,  $a$ и $b$ – константы, то $\frac{1}{a} F(ax+b)$ первообразная для $f(ax+b)$.
Используя полученные правила мы можем расширить таблицу первообразных.

Функции Первообразные
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$ $\displaystyle \frac{(ax+b)^n}{a(n+1)} +C$
$\displaystyle \frac{1}{ax+b}, a\ne0$ $\displaystyle \frac{1}{a}\ln|ax+b|+C$
$e^{ax+b}, a\ne0$ $\displaystyle \frac{1}{a} e^{ax+b}+C$
$\sin(ax+b), a\ne0$ $\displaystyle -\frac{1}{a}\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$ $\displaystyle \frac{1}{a}\sin(ax+b)+C$

Пример 5. Найти первообразные для:

а) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

б) $\displaystyle \frac{6}{x^5} -\frac{2}{x}$;

в) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

г) $\displaystyle \sqrt{x}-2\sqrt[3]{x}$.

а) $4\frac {x^{3+1}}{3+1}+10\frac{x^{7+1}}{7+1}+C=x^4+\frac{5}{4} x^8+C$;

б) $-\frac{3}{2x^4} -2\ln|x|+C$;

в) $5 \sin x - \frac{1}{3}\cos(3x + 15) + C$;

г) $\frac{2}{3}x\sqrt{x} - \frac{3}{2} x\sqrt[3]{x} + C$.